Schnittpunkte von e-Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Fr 21.11.2008 | | Autor: | kopona |
| Aufgabe | | Inhalt der Fläche zwischen [mm] f(x)=-0,79*x^2+1 [/mm] und h(x)=e^-x berechnen. |
Hi Leute,
Ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch, was die Schnittpunktberechnung angeht, bitte helft mir.
Die Funktionen lauten:
[mm] f(x)=-0,79*x^2+1
[/mm]
und
h(x)=e^-x
Ich habe einmal x=0 aber es muss noch einen SP geben, damit ich die Fläche ausrechnen kann.
Ich habe einige Umformungen gemacht, komme aber nicht mehr weiter.
Hier meine Funktion:
[mm] 1=(-0,79*x^2+1)*e^x
[/mm]
Was kann man hiermit machen?
Sry, wenn es eine zu einfache Frage ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:55 Fr 21.11.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo kopona, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Die meisten Anfragen hier werden schneller beantwortet, aber an Deine will sich niemand so recht herantrauen. Kein Wunder: es gibt keine gute Nachricht.
Die Gleichung, die Du richtig aufstellst, ist nicht lösbar (was oft, und so auch hier, heißt: nur in numerischer Näherung).
Es gibt einige Funktionsplotter im Internet, ich verwende gern ![[]](/images/popup.gif) diesen. Da siehst du zwar Deine beiden Funktionen, und mit zunehmender Vergrößerung findest Du auch einen Näherungswert für die zweite Nullstelle, etwa 0,851973.
Eine explizite Lösung ist aber leider nicht möglich. Wider besseres Wissen habe ich sogar versucht, einen Term zu finden, der diesem Wert nahe genug kommt...
Meistens führt uns das hier zu der Annahme, dass die Aufgabenstellung entweder falsch wiedergegeben oder eben in sich fehlerhaft ist. Eine nicht lösbare Aufgabe sollte ja nicht gestellt werden.
Komm trotzdem gerne wieder, mit anderen Fragen. Diese aber musst Du dem Aufgabensteller bzw. der Aufgabenstellerin zurückgeben.
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Sa 22.11.2008 | | Autor: | kopona |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi reverend!
Danke für deine Antwort.
Ich habe für euch/dich die Seite aus dem Buch gescannt, auf der die Aufgaben sind.
Es ist so: Ich muss am Mittwoch an die Tafel und sowas wie "eine Hausaufgabe vorrechnen"
Ich habe die Kurvendiskussion der Gaußglocke bekommen und die 2 Aufgaben, die ich für euch gescannt habe.
KD und Aufgabe 19 gingen relativ gut auf.
Es kann sein, dass ich die Nr.20 missverstanden habe und man nicht die Approximationsparabel, sondern die Glocke ( [mm] f(x)=e^-x^2 [/mm] ) mit h(x) gleichsetzen muss.Aber das Buch sagt doch, dass man sie dann nicht integrieren kann. Wie verstehst du die Aufgabe?
Die 20a) habe ich auch mit der Approximationsparabel bearbeitet und es ging sehr einfach. (war ja auch "stinknormales" Intergrieren + FE ausrechnen)
Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo kopona,
> Ich habe für euch/dich die Seite aus dem Buch gescannt, auf
> der die Aufgaben sind.
> Es ist so: Ich muss am Mittwoch an die Tafel und sowas wie
> "eine Hausaufgabe vorrechnen"
>
> Ich habe die Kurvendiskussion der Gaußglocke bekommen und
> die 2 Aufgaben, die ich für euch gescannt habe.
> KD und Aufgabe 19 gingen relativ gut auf.
> Es kann sein, dass ich die Nr.20 missverstanden habe und
> man nicht die Approximationsparabel, sondern die Glocke (
> [mm]f(x)=e^-x^2[/mm] ) mit h(x) gleichsetzen muss.
> Aber das Buch sagt
> doch, dass man sie dann nicht integrieren kann. Wie
> verstehst du die Aufgabe?
Na gut, so absolut klar ist es nicht. Da die Parabel aber im
betrachteten Bereich doch eine relativ gute Approximation
der Glockenkurve ist, macht man wohl auch nur einen
kleinen Fehler, wenn man zwar den Schnittpunkt von
Glockenkurve f und der Kurve h nimmt, für die Integration
dann aber f durch die Parabel ersetzt. So ganz "sauber"
ist dies zwar nicht - doch in der Aufgabe ist es wohl etwa
so gemeint ...
Beachte aber auch meine andere Meldung an reverend !
> Die 20a) habe ich auch mit der Approximationsparabel
> bearbeitet und es ging sehr einfach. (war ja auch
> "stinknormales" Intergrieren + FE ausrechnen)
Gruß von Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 22.11.2008 | | Autor: | kopona |
| Aufgabe | | Beweise, warum [mm] e^{-x^2} [/mm] keine bestimmte Stammfunktion hat. |
Erstmal will ich euch beiden für eure Hilfe danken.
Habe die Fläche mithilfe von reverends Schnittpunkt ausgerechnet. Habe mir die Sache auf einem Graphenzeichnerprogramm nochmal verdeutlicht!
Wenn man [mm] e^{-x}=e^{-x^2} [/mm] setzt erhält man die SP x=0;1
Wenn man nun mit dem Taschenrechner integriert, bekommt man eine Lösung raus.
Aber ich frage mich, wieso! Es heißt doch, dass man [mm] e^{-x^2} [/mm] nicht integrieren könne?
Weiteres Problem:
Warum nicht, was ist die Ursache? Im Buch steht nichts darüber im Netz finde ich genauso wenig. (Verständliches)
Ich weiß nicht, wie man dieses "hoch [mm] -x^2 [/mm] " handhaben sollte.
PS: Wir haben die Funktion nicht besprochen, ich soll das ja dann an der Tafel machen. Wir haben auch noch nicht die Wahrscheinlickeitsrechnung gemacht und ich frage mich schon die ganze Zeit, wie ich die Gaußfunktion und deren Zusammenhang zur Wahrscheinlichkeitsrechnung erklären soll.
Grüße
|
|
|
| |
|
Dein Taschenrechner kann die Funktion problemlos integrieren, weil er das rein numerisch tut. Die Funktion ist ja darstellbar, und er geht einfach in sehr kleinen Schritten vor. Du erinnerst Dich an den Differenzenquotienten und den Übergang zum Differentialquotienten, nehme ich an. Dann kannst Du Dir vorstellen, wie der Algorithmus (benannt nach dem Mathematiker Al-Chwarizmi  ) funktioniert.
Wie man Deine 2. Aufgabe löst, weiß ich im Moment aber nicht... Ich denk mal drüber nach.
|
|
|
| |
|
> Beweise, warum [mm]e^{-x^2}[/mm] keine bestimmte Stammfunktion hat.
> Erstmal will ich euch beiden für eure Hilfe danken.
> Habe die Fläche mithilfe von reverends Schnittpunkt
> ausgerechnet. Habe mir die Sache auf einem
> Graphenzeichnerprogramm nochmal verdeutlicht!
Dann hast du aber sicher gesehen, dass die Fläche,
die zu berechnen ist, in x-Richtung bis zu x=1 reicht,
die "Ersatzfläche" aber nur bis zu [mm] x\approx [/mm] 0.852.
Ich würde dir gerne vorschlagen, zuerst eine bessere
Approximationsfunktion der Glockenkurve zu bestimmen
anstelle der doch nicht so guten quadratischen Funktion g(x) !
Nimm den Ansatz [mm] q(x)=1+a*x^2+b*x^4 [/mm] und bestimme
a und b so, dass q(x) für [mm] x=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] und
für x=1 mit der Glockenkurve übereinstimmt. Lösung:
[mm] q(x)=1-0.9418*x^2+0.3096*x^4
[/mm]
Diese Funktion nähert die Glockenkurve wesentlich besser
an und stimmt an der Stelle x=1 mit ihr und mit [mm] y=e^{-x}
[/mm]
überein. Damit fällt das Problem mit den unterschiedlichen
Schnittpunkten weg, und du erhältst auch eine deutlich
genauere Lösung als mit der im Buch vorgeschlagenen
quadratischen Hilfsfunktion !
> Wenn man [mm]e^{-x}=e^{-x^2}[/mm] setzt erhält man die SP x=0;1
> Wenn man nun mit dem Taschenrechner integriert, bekommt
> man eine Lösung raus.
> Aber ich frage mich, wieso! Es heißt doch, dass man
> [mm]e^{-x^2}[/mm] nicht integrieren könne?
Das hat reverend schon beantwortet.
> Weiteres Problem:
> Warum nicht, was ist die Ursache? Im Buch steht nichts
> darüber im Netz finde ich genauso wenig. (Verständliches)
> Ich weiß nicht, wie man dieses "hoch [mm]-x^2[/mm] " handhaben
> sollte.
Die Funktion [mm] e^x [/mm] ist formal sehr leicht abzuleiten und
auch zu integrieren - es gibt ja nichts einfacheres...
[mm] e^{-x^2} [/mm] kann man zwar mit der Kettenregel leicht
ableiten, aber alle üblichen Integrationsregeln scheitern
an dieser Funktion. Das ist auch bei anderen Funktionen
so: formal ableiten leicht oder doch machbar, formal
integrieren unmöglich, ausser z.B. mit Hilfe von
unendlichen Reihendarstellungen.
Für die vorliegende Aufgabe kannst du das einfach
einmal hinnehmen: es geht eben nicht mit den
gewöhnlichen Mitteln der Integralrechnung.
> PS: Wir haben die Funktion nicht besprochen, ich soll das
> ja dann an der Tafel machen. Wir haben auch noch nicht die
> Wahrscheinlickeitsrechnung gemacht und ich frage mich schon
> die ganze Zeit, wie ich die Gaußfunktion und deren
> Zusammenhang zur Wahrscheinlichkeitsrechnung erklären
> soll.
Das musst du wohl nicht auch noch - oder ?
Du kannst doch einfach erwähnen, dass die Gaußfunktion
in der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik eine wichtige
Rolle spielt, die ihr später kennenlernen werdet.
Viel Erfolg mit deinem Vortrag !
|
|
|
| |
|
> Die meisten Anfragen hier werden schneller beantwortet,
> aber an Deine will sich niemand so recht herantrauen. Kein
> Wunder: es gibt keine gute Nachricht.
>
> Die Gleichung, die Du richtig aufstellst, ist nicht lösbar
> (was oft, und so auch hier, heißt: nur in numerischer
> Näherung).
>
> Es gibt einige Funktionsplotter im Internet, ich verwende
> gern diesen.
> Da siehst du zwar Deine beiden Funktionen, und mit
> zunehmender Vergrößerung findest Du auch einen
> Näherungswert für die zweite Nullstelle, etwa 0,851973.
>
> Eine explizite Lösung ist aber leider nicht möglich. Wider
> besseres Wissen habe ich sogar versucht, einen Term zu
> finden, der diesem Wert nahe genug kommt...
>
> Meistens führt uns das hier zu der Annahme, dass die
> Aufgabenstellung entweder falsch wiedergegeben oder eben in
> sich fehlerhaft ist. Eine nicht lösbare Aufgabe sollte ja
> nicht gestellt werden.
>
> Komm trotzdem gerne wieder, mit anderen Fragen. Diese aber
> musst Du dem Aufgabensteller bzw. der Aufgabenstellerin
> zurückgeben.
Entschuldigung reverend, aber das ist natürlich Unsinn.
In der Mathematik geht es nicht immer nur um Lösungen,
die man absolut exakt darstellen kann. Wäre es so, dann
könnte Mathematik auch nicht "Königin der Wissenschaften"
genannt werden. In den Natur- und technischen Wissenschaften
kommt man doch öfter als nicht auf Gleichungen, die nur
numerisch lösbar sind. Das heisst nicht, dass sie einfach
unlösbar sind, sondern eben nur mit beschränkter Genauig-
keit (die aber bei Bedarf beliebig weit getrieben werden
kann).
Du hast ja selber oben schon einen hochexakten Wert
für die x-Koordinate des zweiten Schnittpunktes angegeben.
Diesen Wert kann man dann auch für die Fortsetzung der
Rechnung, also zur Berechnung des Integrals, benützen.
Für die Bestimmung der algebraisch nicht exakt darstellbaren
Nullstelle kann man z.B. das Newtonsche Näherungsverfahren
verwenden (oder, falls erlaubt, die Solve-Funktion eines
Taschenrechners).
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 09:25 Sa 22.11.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo Al-Chwarizmi,
wir sind, denke ich, ganz einer Meinung, was die Fähigkeiten der Mathematik angeht. Sogar eine solche Aufgabe, wie sie hier ursprünglich gestellt war, kann für die Praxis hinreichend genau gelöst werden.
Zu dem Zeitpunkt, als ich schrieb, stand nur die ursprüngliche Aufgabenstellung hier, noch nicht der nachgereichte Scan. Dein Vorschlag, den Schnittpunkt der Glockenkurve mit [mm] e^{-x} [/mm] als Integrationsgrenze für die Aufgabe mit der Näherungsparabel zu nehmen, führt, wie Du selbst sagst, zu einem m.E. nicht unerheblichen Fehler, und ist jedenfalls nicht "sauber". Dennoch ist ja selbst das noch ein besseres Ergebnis als keins.
Für eine Schulaufgabe allerdings sollte die Aufgabe klarer gestellt sein. "Schätzen Sie möglichst genau ab" wäre z.B. eine denkbare Formulierung. Auf dem Stand der Kl.12 ist die Aufgabe sonst eine erhebliche Falle, in die selbst Schüler mit mittleren bis guten Leistungen tappen werden. Man erwartet - und darf wohl auch erwarten - dass die gestellten Aufgaben mit den im Unterricht behandelten Mitteln gelöst werden können. Hier ist ja offenbar Integration das Thema, die Differenziation schon bekannt.
So gesehen, habe ich mich vielleicht nicht gut ausgedrückt, aber doch sowohl gesagt, dass eine explizite Lösung nicht möglich ist. Eine numerische habe ich angegeben, um zu zeigen, dass das eine Abschätzung nicht verhindern muss.
Mit der Markierung "fehlerhaft" bin ich daher nicht glücklich, weil ich hier keine sachliche Diskrepanz, sondern eher einen Meinungsunterschied zur Aufgabenstellung der Schulmathematik sehe. Bezogen auf den Kontext meines Gesamtbeitrags finde ich auch die Respons "das ist natürlich Unsinn" ein bisschen stark.
Ich habe dennoch Deine Korrektur als "richtig" bewertet, weil sie dem Fragesteller unter Einbeziehung der zusätzlichen Informationen einen für ihn handhabbaren Weg aufzeigt. Und das ist doch Sinn dieses Forums.
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 10:06 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Al-Chwarizmi |
Guten Tag reverend,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> wir sind, denke ich, ganz einer Meinung, was die
> Fähigkeiten der Mathematik angeht. Sogar eine solche
> Aufgabe, wie sie hier ursprünglich gestellt war, kann für
> die Praxis hinreichend genau gelöst werden.
>
> Zu dem Zeitpunkt, als ich schrieb, stand nur die
> ursprüngliche Aufgabenstellung hier, noch nicht der
> nachgereichte Scan.
Den habe ich auch erst nachher angeschaut und darauf
die Mitteilung an kopona geschrieben.
> Dein Vorschlag, den Schnittpunkt der
> Glockenkurve mit [mm]e^{-x}[/mm] als Integrationsgrenze für die
> Aufgabe mit der Näherungsparabel zu nehmen, führt, wie Du
> selbst sagst, zu einem m.E. nicht unerheblichen Fehler, und
> ist jedenfalls nicht "sauber". Dennoch ist ja selbst das
> noch ein besseres Ergebnis als keins.
>
> Für eine Schulaufgabe allerdings sollte die Aufgabe klarer
> gestellt sein. "Schätzen Sie möglichst genau ab" wäre z.B.
> eine denkbare Formulierung. Auf dem Stand der Kl.12 ist die
> Aufgabe sonst eine erhebliche Falle, in die selbst Schüler
> mit mittleren bis guten Leistungen tappen werden. Man
> erwartet - und darf wohl auch erwarten - dass die
> gestellten Aufgaben mit den im Unterricht behandelten
> Mitteln gelöst werden können. Hier ist ja offenbar
> Integration das Thema, die Differenziation schon bekannt.
>
> So gesehen, habe ich mich vielleicht nicht gut ausgedrückt,
> aber doch sowohl gesagt, dass eine explizite Lösung nicht
> möglich ist. Eine numerische habe ich angegeben, um zu
> zeigen, dass das eine Abschätzung nicht verhindern muss.
> Mit der Markierung "fehlerhaft" bin ich daher nicht
> glücklich, weil ich hier keine sachliche Diskrepanz,
> sondern eher einen Meinungsunterschied zur Aufgabenstellung
> der Schulmathematik sehe. Bezogen auf den Kontext meines
> Gesamtbeitrags finde ich auch die Respons "das ist
> natürlich Unsinn" ein bisschen stark.
Als ich (auf dem Scan) sah, dass die Aufgabe doch nicht
so ganz koscher ist (der Schnittpunkt von [mm] e^{-x^2}
[/mm]
und [mm] e^{-x} [/mm] liegt doch schon ausserhalb des Bereichs,
wo die Parabel eine gute Approximation der Glockenkurve
ist), habe ich das auch gedacht und gespürt, dass ich
da doch zu unfreundlich reagiert habe. Der Begriff
"Unsinn" bezog sich auf deine Meinung, die Aufgabe
sei "nicht lösbar" und müsse deshalb "dem Aufgaben-
steller zurückgegeben werden". Meiner Ansicht nach
haben solche Aufgaben, wo es um Approximationen
geht, durchaus auch im Mathematikunterricht (und
zwar nicht nur im Leistungskurs, wo kopona sich befindet)
ihren Platz.
Also, wegen der etwas scharfen Kritik, nochmals: sorry,
war nicht bös gemeint
> Ich habe dennoch Deine Korrektur als "richtig" bewertet,
> weil sie dem Fragesteller unter Einbeziehung der
> zusätzlichen Informationen einen für ihn handhabbaren Weg
> aufzeigt.
> Und das ist doch Sinn dieses Forums.
Einverstanden.
>
> Liebe Grüße!
Dir auch, und ein schönes Wochenende !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 13:27 Sa 22.11.2008 | | Autor: | reverend |
Angenommen.
Mein letzter Satz (im ersten Posting) war auch nicht geschickt formuliert. Mich ärgern nur Aufgaben, die einem durch schlechte Formulierung oder eben nicht auflösbare Wege die Freude an der Mathematik verleiden können. Wenn man die noch nie erfahren hat, ist das ein doppeltes Ärgernis.
Deswegen finde ich halt, dass derjenige, der solche Aufgaben gibt, zumindest den Hinweis gibt, dass sich ein Stolperstein darin befindet, vielleicht auch einen Tipp, wie der zu umgehen ist.
Auch ein schönes Wochenende! Meins ist endlich mal frei, ab jetzt.
|
|
|
|
