Schnittpunkt mit Parameter < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mo 29.09.2008 | | Autor: | MrPotter |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die fehlenden Koordinaten der Geradengleichungen g und h, sodass folgende Lagen eingenommen werden
a) schneidend
b) windschief
g: [mm]\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ a \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} b \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
h: [mm]\vec x = \begin{pmatrix} 6 \\ c \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ d \end{pmatrix}[/mm] |
Dazu habe ich als erstes Überprüft, für welche Parameter die Geraden kollinear sind. Diese Parameterwerte dürfen folglich nicht verwendet werden um den Schnittpunkt oder eine Windschiefheit nachzuweisen.
Wenn b [mm]\neq[/mm] -4 und d [mm]\neq[/mm] -2, dann schneiden sich die Geraden oder sind Windschief.
So, jetzt müssen ja [mm]\vec x_g[/mm] und [mm]\vec x_h[/mm] gleich sein, weshalb folgt:
[mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} b \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ c \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ d \end{pmatrix}[/mm]
Wenn ich da jetzt ein LGS draus mache und ggf. noch für b und d Werte ungleich -4 und ungleich -2 einsetze, dann fühle ich mich nicht in der Lage das LGS lösen zu können. Kann man das überhaupt?!
Wie muss ich da (alternativ) vorgehen um die Schnittpunkte zu bestimmen, bzw. die Windschiefheit nachweise?
Vielen Dank und liebe Grüße
MrPotter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Di 30.09.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo MrPotter,
> Ermitteln Sie die fehlenden Koordinaten der
> Geradengleichungen g und h, sodass folgende Lagen
> eingenommen werden
>
> a) schneidend
> b) windschief
>
>
> g: [mm]\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ a \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} b \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> h: [mm]\vec x = \begin{pmatrix} 6 \\ c \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ d \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dazu habe ich als erstes Überprüft, für welche Parameter
> die Geraden kollinear sind. Diese Parameterwerte dürfen
> folglich nicht verwendet werden um den Schnittpunkt oder
> eine Windschiefheit nachzuweisen.
>
> Wenn b [mm]\neq[/mm] -4 und d [mm]\neq[/mm] -2, dann schneiden sich die
> Geraden oder sind Windschief.
Die Bedingung ist $ b [mm] \not= [/mm] -4 [mm] \vee d\not=-2 [/mm] $ Es genügt, dass eine Ungleichung erfüllt ist.
>
> So, jetzt müssen ja [mm]\vec x_g[/mm] und [mm]\vec x_h[/mm] gleich sein,
> weshalb folgt:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} b \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ c \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ d \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wenn ich da jetzt ein LGS draus mache und ggf. noch für b
> und d Werte ungleich -4 und ungleich -2 einsetze, dann
> fühle ich mich nicht in der Lage das LGS lösen zu können.
> Kann man das überhaupt?!
>
> Wie muss ich da (alternativ) vorgehen um die Schnittpunkte
> zu bestimmen, bzw. die Windschiefheit nachweise?
Um ein Gleichungssystem kommst Du nicht herum. Statt der Schnittpunktsberechnung kannst Du auch auf lineare Unabhängigkeit der der Richtungsvektoren und des Differenzvektors der Stützvektoren untersuchen, aber das ist keineswegs einfacher.
Du hast ja bei der Schnittpunktsberechnung folgendes Gleichungssystem:
$ 2 + br = 6 + 2s $
$ 2 + 6r = c - 3s $
$ a + 4r = ds $
Eine Möglichkeit ist jetzt: Mit den ersten beiden Gleichungen über Additionsverfahren r und s in Abhängigkeit von a,b,c und d zu berechnen und in die 3. Gleichung einsetzen. Die liefert Dir dann die Bedingung für die Existenz eines Schnittpunktes.
Versuch's mal. Ich werde meine Rechnung auch nochmal überprüfen. Wir können dann ja vergleichen.
Achte auf eventuell notwendige Fallunterscheidungen.
Gruß
Sigrid
>
> Vielen Dank und liebe Grüße
> MrPotter
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