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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Schnittmenge von linearen Unt.

Schnittmenge von linearen Unt. < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

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Schnittmenge von linearen Unt.: Aufgabe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	12:48 So 20.04.2008
Autor:	clancx

Aufgabe

 Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Es seien U, V zwei lineare Teilräume des [mm] \IR^n
 [/mm]

(i) Zeige: U [mm] \cap [/mm] V = [mm] (U^\perp [/mm] + [mm] V^\perp)\perp
 [/mm]

Tipp: [mm] U^\perp \cap V^\perp [/mm] = (U + [mm] V)^\perp [/mm] 

Also naja ich habe echt keine Ahnung wie ich des beweisen soll... Selbst zeichnerisch sehe ich da die Gleichheit nicht.
Mein Lösungsansatz war:
f(U) = [mm] U^\perp [/mm]
f(V) = [mm] V^\perp [/mm]
=> U [mm] \cap [/mm] V = (f(U) = [mm] f(V))^\perp [/mm]
=> U [mm] \cap [/mm] V = f(f(U) + f(V))

aber naja kommt dort leider auch nicht wirklich weiter...

Bezug

Schnittmenge von linearen Unt.: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	05:33 Mo 21.04.2008
Autor:	angela.h.b.

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Es seien U, V zwei lineare Teilräume des [mm]\IR^n[/mm]
>  (i) Zeige: U [mm]\cap[/mm] V = [mm](U^\perp[/mm] + [mm]V^\perp)\perp[/mm]
>  Tipp: [mm]U^\perp \cap V^\perp[/mm] = (U + [mm]V)^\perp[/mm]
>  Also naja ich habe echt keine Ahnung wie ich des beweisen
> soll... Selbst zeichnerisch sehe ich da die Gleichheit
> nicht.
>  Mein Lösungsansatz war:
>  f(U) = [mm]U^\perp[/mm]
>  f(V) = [mm]V^\perp[/mm]
>  => U [mm]\cap[/mm] V = (f(U) = [mm]f(V))^\perp[/mm]

> => U [mm]\cap[/mm] V = f(f(U) + f(V))
>
> aber naja kommt dort leider auch nicht wirklich weiter...

Hallo,

[willkommenmr]

.

auf Deinen Lösungsansatz kann ich mir keinen Reim machen.

Am besten schreibst Du erstmal auf, wie [mm] U^\perp [/mm] definiert ist, solange das nicht klar ist, kann man sich das Anfangen sparen.

Dann folge dem Tip und zeige [mm] U^\perp \cap V^\perp \subseteq [/mm] (U + [mm] V)^\perp [/mm] und [mm] \subseteq [/mm] (U + [mm] V)^\perp \subseteq U^\perp \cap V^\perp. [/mm]

Den Übergang zur eigentlichen Aussage schaffst Du dann, indem Du [mm] U':=U^\perp [/mm] betrachtest.

Gruß v. Angela