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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 So 07.10.2012 | | Autor: | aaaa1 |
| Aufgabe | Es seien A und B Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Omega,P) mit P(A)=0.25 und P(B)=0.8
1. Zeigen Sie , dass P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \ge [/mm] 0.05 gilt.
2. Sei speziell Omega={1,2,3..,20} und P die Gleichverteilung auf Omega. Geben Sie wie oben beschrieben die Ereignisse A und B an, für die zusätzlich gilt:
(a) P (A [mm] \cap [/mm] B)=0.05
(b) P(A [mm] \cap [/mm] B) = 0.2 |
Leider weiß ich nicht, wie ich vorgehen muss, wäre für jede Hilfe sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 So 07.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es seien A und B Ereignisse in einem
> Wahrscheinlichkeitsraum (Omega,P) mit P(A)=0.25 und
> P(B)=0.8
>
> 1. Zeigen Sie , dass P(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\ge[/mm] 0.05 gilt.
>
> 2. Sei speziell Omega={1,2,3..,20} und P die
> Gleichverteilung auf Omega. Geben Sie wie oben beschrieben
> die Ereignisse A und B an, für die zusätzlich gilt:
>
> (a) P (A [mm]\cap[/mm] B)=0.05
> (b) P(A [mm]\cap[/mm] B) = 0.2
> Leider weiß ich nicht, wie ich vorgehen muss, wäre für
> jede Hilfe sehr dankbar.
Nimm an, es sei P(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]<[/mm] 0.05.Zeige dann, dass P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]>[/mm] 1 ausfällt, Widerspruch.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 07.10.2012 | | Autor: | aaaa1 |
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) = 1.05 > 1
so etwa?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 07.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A) + P(B) = 1.05 > 1
>
> so etwa?
nein. Wo steht denn etwas über $P(A [mm] \cap [/mm] B)$?
Es gilt
$$P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cup B)\,.$$
[/mm]
Du kommst nun auch direkt zur gewünschten Ungleichung, wenn Du
einfach die Werte von [mm] $P(A)\,$ [/mm] und [mm] $P(B)\,$ [/mm] einsetzt (dann ist, das hast
Du oben richtig gerechnet: $P(A)+P(B)=1.05$) und nun drüber nachdenkst,
dass ja [mm] $P(A\cup [/mm] B)$ wohl zwangsweise [mm] $\le [/mm] 1$ gelten muss. Denn daraus
folgt?
Gruß,
Marcel
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Ich versteh das alles leider nicht, tut mir leid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 07.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Es gilt:
$ P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cup [/mm] B)=1,05-P(A [mm] \cup [/mm] B)$
Wegen P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \le [/mm] 1 ist -P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \ge [/mm] -1,
also:
$ P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cup [/mm] B)=1,05-P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \ge [/mm] 1,05-1=0,05$
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 So 07.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
um Freds Antwort bzgl. 1. zu ergänzen:
$$A [mm] \cup [/mm] B=(A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$$
und die rechte Seite ist eine disjunkte Vereinigung. Was gilt also für
$$P(A [mm] \cup [/mm] B)$$
unter Beachtung, dass $P(X [mm] \setminus [/mm] Y)=P(X)-P(Y)$ für $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ gilt?
Wenn Du eine Formel der Art
$$P(A [mm] \cap [/mm] B)+P(A [mm] \cup B)=P(A)+P(B)\,$$
[/mm]
kennst (=schon benutzen darfst), kannst Du sie natürlich auch direkt anwenden!
Gruß,
Marcel
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