Schnittmenge Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo,
wie bilde ich eine Schnittmenge von 2 gegebenen Untervektorräumen?
Wenn ich z.B. U,V geg. habe.
Dabei besteht U aus 3 Vekotoren des [mm] \IR^4 [/mm] und V aus 2 Vektoren des [mm] \IR^4.
[/mm]
Hab da echt keinen Ansatz wie ich die Schnittmenge von Vektoren bilden soll...?? |
Meine Frage steckt schon in der Aufgabenstellung.
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> Hallo,
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> wie bilde ich eine Schnittmenge von 2 gegebenen
> Untervektorräumen?
> Wenn ich z.B. U,V geg. habe.
> Dabei besteht U aus 3 Vekotoren des [mm]\IR^4[/mm] und V aus 2
> Vektoren des [mm]\IR^4.[/mm]
>
> Hab da echt keinen Ansatz wie ich die Schnittmenge von
> Vektoren bilden soll...??
> Meine Frage steckt schon in der Aufgabenstellung.
Hallo,
welche vektoren liegen gleichzeitig in U und V? Die, die man sowohl als Linearkombination der Erzeugenden von U als auch der Erzeugenden von V schreiben kann.
Gleichsetzen liefert das zu lösende Gleichungssystem.
Weitere Nachfragen bitte ggf. mit den konkreten Vektoren (in Spaltenschreibweise.)
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | hier die Vektoren von U:
[mm] u_1=\vektor{1\\0\\0\\1}, u_2= \vektor{0\\1\\0\\1} [/mm] ,
[mm] u_3=\vektor{0\\0\\2\\-1}
[/mm]
Die Vektoren von V:
[mm] v_1= {1\\1\\0\\1} [/mm] , [mm] v_2= {0\\-1\\2\\-1}
[/mm]
hmm.. also ich weiß nicht, ob ich es richtig verstanden habe, aber ich habe jetzt die Vektoren von U als LGS geschrieben und mit einen Vektor von V gleichgesetzt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0&0&2\\1&1&-1 }= \pmat{1\\1\\0\\1}
[/mm]
Hier erhalte ich dann, dass [mm] u_1+u_2=v_1 [/mm] sind.
(Also 1. und 2. Spalte ergeben den Lösungsvektor [mm] v_1)
[/mm]
Der 2. vektor von V , also [mm] v_2 [/mm] lautet wie folgt:
[mm] v_2= \vektor{0\\-1\\2\\-1}
[/mm]
Hier hab ich das gleiche gemacht. also das LGS mit diesen vektor [mm] v_2 [/mm] gleichgesetzt. Bekam aber keine Lösung heraus.
Also heißt das U [mm] \cap [/mm] V [mm] =u_1,u_2,v_1 [/mm] ??
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soweit korrekt?
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Hallo LittleGauss,
> hier die Vektoren von U:
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> [mm]u_1=\vektor{1\\0\\0\\1}, u_2= \vektor{0\\1\\0\\1}[/mm] ,
> [mm]u_3=\vektor{0\\0\\2\\-1}[/mm]
>
> Die Vektoren von V:
> [mm]v_1= {1\\1\\0\\1}[/mm] , [mm]v_2= {0\\-1\\2\\-1}[/mm]
>
>
> hmm.. also ich weiß nicht, ob ich es richtig verstanden
> habe, aber ich habe jetzt die Vektoren von U als LGS
> geschrieben und mit einen Vektor von V gleichgesetzt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0&0&2\\1&1&-1 }= \pmat{1\\1\\0\\1}[/mm]
>
> Hier erhalte ich dann, dass [mm]u_1+u_2=v_1[/mm] sind.
>
> (Also 1. und 2. Spalte ergeben den Lösungsvektor [mm]v_1)[/mm]
>
> Der 2. vektor von V , also [mm]v_2[/mm] lautet wie folgt:
>
> [mm]v_2= \vektor{0\\-1\\2\\-1}[/mm]
>
> Hier hab ich das gleiche gemacht. also das LGS mit diesen
> vektor [mm]v_2[/mm] gleichgesetzt. Bekam aber keine Lösung heraus.
>
> Also heißt das U [mm]\cap[/mm] V [mm]=u_1,u_2,v_1[/mm] ??
>
Nein, das heißt nur daß [mm]U \cap V =v_1[/mm].
>
> soweit korrekt?
Gruss
MathePower
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> hier die Vektoren von U:
>
> [mm]u_1=\vektor{1\\0\\0\\1}, u_2= \vektor{0\\1\\0\\1}[/mm] ,
> [mm]u_3=\vektor{0\\0\\2\\-1}[/mm]
>
> Die Vektoren von V:
> [mm]v_1=\vektor {1\\1\\0\\1}[/mm] , [mm]v_2= \vektor{0\\-1\\2\\-1}[/mm]
Hallo,
mit dem, was ich schrieb, meinte ich folgendes:
Die Vektoren v, die in [mm] U:= [/mm] sind, kann man schreiben als
[mm] v=a\vektor{1\\0\\0\\1}+b\vektor{0\\1\\0\\1}+c\vektor{0\\0\\2\\-1}
[/mm]
Die die in [mm] V= [/mm] sind, kann man schreiben als [mm] v=d\vektor {1\\1\\0\\1}+e\vektor{0\\-1\\2\\-1}.
[/mm]
Die Vektoren, die in beiden Räumen liegen, kann man sowohl auf die eine als auch auf die andere Weise schreiben, und wollen wir herausfinden, welche das sind, muß man das GS
[mm] a\vektor{1\\0\\0\\1}+b\vektor{0\\1\\0\\1}+c\vektor{0\\0\\2\\-1}=d\vektor {1\\1\\0\\1}+e\vektor{0\\-1\\2\\-1} [/mm] lösen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | ok. habe nun versucht das LGS zu lösen und erhalte dann folgendes:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0\\0&0&2 } [/mm] = [mm] \pmat{0&1\\-1&1\\2&0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c = d , b = -d +e , a = e
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Aber was heißt das denn nun? Ist das denn überhaupt soweit richtig? Bin da etwas verunsichert, weil ich noch nie mit 2 Lösungsvektoren auf der rechten Seite gearbeitet habe. Wie muss ich denn da überhaupt vorgehen? Hätt ich die beiden Vektoren nicht einfach auch auf die linke Seite bringen können?
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Hallo,
hast Du mit dem zuvor von mir geposteten GS gearbeitet?
Hast Du gemerkt, daß es nicht richtig war, ich hatte links falsche Vektoren kopiert.
Gruß v. Angela
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nein, das ist nicht das problem. ich habe die richtigen vektoren benutzt. habs nochmal überprüft.
kannst du mir bitte weiterhelfen angela? weiß nun echt nicht mehr weiter und muss die sachen morgen abegeben.... :-((
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> ok. habe nun versucht das LGS zu lösen und erhalte dann
> folgendes:
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0\\0&0&2 }[/mm] =
> [mm]\pmat{0&1\\-1&1\\2&0}[/mm]
Hallo,
da oben kann was nicht stimmen.
Wir hatten doch ein Gleichungssystem mit 4 Zeilen, und dort sind nun nur noch drei.
Rechne also nochmal.
Vielleicht fällt Dir alles etwas leichter, wenn Du es so umschreibst, daß Du es in der Form
[mm] au_1+bu_2+cu_3+dv_1+ev_2=0 [/mm] dastehen hast, also ein ganz normales homogenes LGS löst.
Poste mit der ZSF auch die Matrix, mit welcher Du startest.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] c = d , b = -d +e , a = e
>
>
> Aber was heißt das denn nun? Ist das denn überhaupt
> soweit richtig? Bin da etwas verunsichert, weil ich noch
> nie mit 2 Lösungsvektoren auf der rechten Seite gearbeitet
> habe. Wie muss ich denn da überhaupt vorgehen? Hätt ich
> die beiden Vektoren nicht einfach auch auf die linke Seite
> bringen können?
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| Aufgabe | | nein. das war so gemeint: auf der linken seite sind die 3 vektoren vom unterraum U und auf der rechten seite der gleichung die 2 vektoren von unterraum V. das ist so richtig. genauso ist es in der aufgabenstellung. habs nochmal überprüft. jedenfalls habe ich daraus eine matrix gebildet. also eine matrix zu U und eine zu V. und diese beiden hab ich dann gleichgesetzt. deshalb sind auf der einen seite 3 spalten und auf der anderen 2. |
du meinst also so:
[mm] \pmat{1&0&0&0&1\\0&1&0&-1&1\\0&0&2&2&0\\1&1&-1&-1&1}
[/mm]
hier sicherheitshalber noch einmal die korrekten gegebenen Vektoren:
die vektoren vom unterraum U:
[mm] u_1= \vektor{1\\0\\0\\1}, u_2=\vektor{0\\1\\0\\1}, u_3=\vektor{0\\0\\2\\-1}
[/mm]
Nun die beiden Vektoren zum Unterraum V:
[mm] v_1= \vektor{0\\-1\\2\\-1}, v_2= \vektor{1\\1\\0\\1}
[/mm]
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| Aufgabe | also ich habe das nun gelöst und erhalte am ende die folgende ZSF:
[mm] \pmat{1&0&0&0&1\\0&1&0&-1&1\\0&0&2&2&0\\0&0&0&1&-1}=\vektor{0\\0\\0\\0}
[/mm]
Die Matrix hat ja mehr spalten als zeilen und wie man sieht bleibt eine freie variable übrig.
wähle also [mm] x_5=t
[/mm]
dann erhalte ich: [mm] x_4=t, x_3=-t [/mm] , [mm] x_2=0 [/mm] und [mm] x_1=-t
[/mm]
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ist das soweit richtig?
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> also ich habe das nun gelöst und erhalte am ende die
> folgende ZSF:
>
> [mm]\pmat{1&0&0&0&1\\0&1&0&-1&1\\0&0&2&2&0\\0&0&0&1&-1}=\vektor{0\\0\\0\\0}[/mm]
>
> Die Matrix hat ja mehr spalten als zeilen und wie man sieht
> bleibt eine freie variable übrig.
>
> wähle also [mm]x_5=t[/mm]
>
> dann erhalte ich: [mm]x_4=t, x_3=-t[/mm] , [mm]x_2=0[/mm] und [mm]x_1=-t[/mm]
>
>
> ist das soweit richtig?
Hallo,
es sieht jedenfalls dem, was auf meinem Zettel steht, extrem ähnlich.
Entscheidend für Deine Problemstellung ist jetzt die letzte Zeile, die Dir sagt, wie die Variablen der rechten Seite, also d und e, zusammenhängen: d-e=0, also d=e.
Nun weißt Du, daß die Vektoren des Schnittes die Gestalt $ v=d [mm] \vektor{0\\-1\\2\\-1}+ e\vektor{1\\1\\0\\1} $=e\vektor{1\\0\\2\\0} [/mm] haben, der Vektor [mm] \vektor{1\\0\\2\\0} [/mm] also eine Basis des Schnittes ist.
Gruß v. Angela
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und was ist mit den restlichen Vektoren?
Brauch ich die nicht mehr zu beachten? Es kann doch gut sein, dass herauskommt, dass noch mehr Vektoren "gleich" sind.....?
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Hallo,
wenn Du a,b,c ebenfalls inAbhängigkeit von e ausdrückst, solltest Du am Ende denselbn Schnitt herausbekommen.
Aber das, was Du hast reicht: Du weißt jetzt, daß die Vektoren, die gleichzeitig in beiden Räumen sind, Vielfache von dem einen Vektor, den wir ausgerechnet hatten, sind.
Gruß v. Angela
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wäre der folgende Vektor denn nicht auch eine Basis?
Habe nämlich das hier raus:
v= t [mm] \vektor{-1\\0\\-1\\1\\1}
[/mm]
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> wäre der folgende Vektor denn nicht auch eine Basis?
> Habe nämlich das hier raus:
>
> v= t [mm]\vektor{-1\\0\\-1\\1\\1}[/mm]
Hallo,
das kann doch schon deshalb nicht stimmen, weil er eine Komponente zuviel hat.
Was hast Du denn gerechnet?
Gruß v. Angela
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wieso eine komponente zu viel? ich hatte doch ein LGS mit 5 unbekannten...
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Hallo LittleGauss,
> wieso eine komponente zu viel? ich hatte doch ein LGS mit 5
> unbekannten...
Nun, die Vektoren, die Du betrachtest sind aus dem [mm]\IR^{4}[/mm]
Es mag sein, daß das, was Du als v im vorigen Post
bezeichnet hast, die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist.
Gruss
MathePower
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> wäre der folgende Vektor denn nicht auch eine Basis?
> Habe nämlich das hier raus:
>
> v= t [mm]\vektor{-1\\0\\-1\\1\\1}[/mm]
Hallo,
es ist, wie Mathepower sagt: dieser Vektor ist keine Basis des Schnittes, jedoch ist er eine Basis des Lösungsraumes Deines Gleichungssystems.
Alle Vektoren [mm] \vektor{a\\b\\c\\d\\e}=t\vektor{-1\\0\\-1\\1\\1} [/mm] lösen das System.
Also haben die Vektoren des Schnittes die Gestalt [mm] -tu_1-tu_2=-t(u_1+u_2) [/mm] bzw. [mm] v=tv_1+tv_2=t(v_1+v_2) [/mm] - und damit haben wir dann wieder die Basis des Schnittes.
Gruß v. Angela
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