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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mi 16.10.2013 | | Autor: | EGF |
| Aufgabe | Seien M, N Mengen und f: M -> N eine Abbildung. Weiter seien A und B Teilmengen von M und C und D Teilmengen von N.
Beweisen oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel) folgende Aussagen:
a) f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
b) [mm] f^{-1}(C \cap [/mm] D) = [mm] f^{-1} [/mm] (C) [mm] \cap f^{-1} [/mm] (D) |
Guten Abend =)
Folgende Aufgabe hat mein Freund heute aus seiner Vorlesung mitgebracht. Und irgendwie stehen wir beide auf dem Schlauch..
bei a haben wir bisher:
Zu zeigen:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] N: (y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B))
Es gelte: (y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)
per Definition existiert dann ein x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B : f(x) = y
[mm] \gdw (\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : f(x) = y) und [mm] (\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] B : f(x) = y)
[mm] \gdw [/mm] y = f(A) und y= f(B) per Definition folgt dann:
y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Ist das so korrekt? Wenn ja.. kann uns bitte jemand bei b helfen?
Da sind ja Urbilder gemeint oder? Geht das dann nicht genauso?
Danke im voraus!
Wie immer steht die Frage nur hier im Forum ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Do 17.10.2013 | | Autor: | hippias |
> Seien M, N Mengen und f: M -> N eine Abbildung. Weiter
> seien A und B Teilmengen von M und C und D Teilmengen von
> N.
> Beweisen oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel)
> folgende Aussagen:
> a) f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
> b) [mm]f^{-1}(C \cap[/mm] D) = [mm]f^{-1}[/mm] (C) [mm]\cap f^{-1}[/mm] (D)
> Guten Abend =)
> Folgende Aufgabe hat mein Freund heute aus seiner
> Vorlesung mitgebracht. Und irgendwie stehen wir beide auf
> dem Schlauch..
>
> bei a haben wir bisher:
>
> Zu zeigen:
>
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] N: (y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm]
> f(B))
> Es gelte: (y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
> per Definition existiert dann ein x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B : f(x) =
> y
> [mm]\gdw (\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A : f(x) = y) und [mm] > (\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] B :
Dieses [mm] $\iff$ [/mm] ist klaerungsbeduerftig: Denn links hast Du ein $x$, das in $A$ und $B$ liegt, waehrend Du rechts ein $x$ aus $A$ hast und ein moeglicherweise verschiedenes $x'$ aus $B$. Also die [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Richtung ist klar, aber [mm] $\Leftarrow$ [/mm] nicht.
> f(x) = y)
> [mm]\gdw[/mm] y = f(A) und y= f(B) per Definition folgt dann:
> y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
>
> Ist das so korrekt? Wenn ja.. kann uns bitte jemand bei b
> helfen?
> Da sind ja Urbilder gemeint oder?
Ja.
> Geht das dann nicht
> genauso?
Geht so aehnlich.
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> Danke im voraus!
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>
>
> Wie immer steht die Frage nur hier im Forum ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:40 Fr 18.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo EGF!
> Seien M, N Mengen und f: M -> N eine Abbildung. Weiter
> seien A und B Teilmengen von M und C und D Teilmengen von
> N.
> Beweisen oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel)
> folgende Aussagen:
> a) f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
> b) [mm]f^{-1}(C \cap[/mm] D) = [mm]f^{-1}[/mm] (C) [mm]\cap f^{-1}[/mm] (D)
> bei a haben wir bisher:
>
> Zu zeigen:
>
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] N: (y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm]
> f(B))
Das wird dir nicht gelingen, denn es stimmt im Allgemeinen nicht.
> Es gelte: (y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
> per Definition existiert dann ein x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B : f(x) =
> y
> [mm]\gdw (\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A : f(x) = y) und [mm](\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] B :
> f(x) = y)
Hier geht es schief. Die Implikation [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ist nicht nur klärungsbedürftig, sondern im Allgemeinen falsch.
> [mm]\gdw[/mm] y = f(A) und y= f(B)
[mm] $y\in [/mm] f(A)$ und [mm] $y\in [/mm] f(B)$ meinst du.
> per Definition folgt dann:
> y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
Beachte, dass du für alle Objekte $y$ die Äquivalenz
[mm] $y\in f(A\cap B)\iff y\in f(A)\cap [/mm] f(B)$
zeigen müsstest (wenn das denn zuträfe).
Dazu würden ZWEI Richtungen gehören.
Du hast nur die Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] formuliert.
> kann uns bitte jemand bei b
> helfen?
> Da sind ja Urbilder gemeint oder?
Ja.
> Geht das dann nicht
> genauso?
Ich würde nicht sagen, dass das "genauso" geht, auch wenn die Grundvorgehensweise die gleiche ist:
Zeige, dass für alle Objekte $x$ die Aussagen [mm] $x\in f^{-1}(C\cap [/mm] D)$ und [mm] $x\in f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)$ [/mm] äquivalent sind.
Viele Grüße
Tobias
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