Schnittgerade zweier Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Do 15.09.2005 | | Autor: | Regenfee |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Seit Dienstag bemühe ich mich, (durch den Schulanfang neu motiviert) eine Mathehausaufgabe zu lösen, Es handelt sich um eine aus 4 Teilaufgaben bestehende Aufgabe, bei der es darum geht, zwei Ebenen und ihre Schnittgerade n ein dreidimensionales Koordinatensystem zu zeichnen.
Das Zeichnen selbst bereitet mir keinerlei Probleme, allerdings ist zur Berechnung der Schnittgeraden ja die händlische Lösung eines LGS notwendig, bei dem ich mir unsicher bin.
Ich werde nun einfach mal aufschreiben, was ich gerechnet habe:
E1: x1 + x2 + x3 = 4 (I)
E2: 15 x1 + 10 x2 + 6 x3 = 30 (II)
Von jetzt an habe ich mich an einem Lösungsbeispiel für solche Aufgaben in unserem Mathebuch orientiert:
Um eine Variable (x3) loszuwerden, multiplizierte ich die Gleichung (I) mit -6 und addierte die daraus entstandene Gleichung (I*) dann zur unveränderten Gleichung II.
-6 x1 - 6 x2 - 6 x3 = -24 (I*)
+ 15 x1 + 10 x1 + 6 x3 = 30 (II)
---------------------------------------------
9 x1 + 4 x2 = 6 (I**)
1. Frage: Geht das so?? Kann man sich einfach irgendeinen Weg suchen, um eine Variable loszuwerden?
Dann machte ich wie im Beispiel weiter: ich schrieb anstelle der !. Gleichung die Gleichung I**.
Im Buch kam nun eine Stelle, an der einfach eine Variable durch "irgendwas mal t" ersetzt wurde.
Also setzte ich x1 = 4t.
Das setzte ich in die beiden ursprünglichen Gleichungen ein und erhielt so x2 = 1 + 9t
Nach weiterem einsetzten und Gleichungen lösen erhielt ich
x3 = -25t - 10/3
Das erschien mir jedoch schon ziemlich eigentümlich.
Meine Schnittgerade würde also lauten:
-> ( 0 ) ( 4)
g: x = (-1 ) + t ( 9)
(-10/3) (-25)
g: x = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -10/3} [/mm] + t [mm] \vektor{4 \\ 9 \\ -25}
[/mm]
Ist das richtig?!?
Ich bin mir wirklich unsicher, und leider erklärt uns unser Lehrer auch nicht allzu viel. Er macht lieber eine Beispielaufgabe und lässt uns dann Rechenweg dann selbst erproben und heraussuchen, was mir leider weniger liegt und mich eher entmutigt als motiviert.
Vielleicht könnte mir ja jemand sagen, ob das Ergebnis bzw. wenigstens der grobe Rechenweg stimmt. Wir werden das Ergebnis zwar morgen im Unterricht sicher gesagt bekommen, aber wahrscheinlich ohne Rechenweg und ich wüsste trotzdem gerne, ob und wo ich falsch gerechnet habe. Es eilt aber nicht.
Im Vorraus schon mal vielen Dank!
Mit freunlichen Grüßen,
Regenfee
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Hallo Regenfee!
Na, jetzt weiß ich auch, warum es heute den ganzen Tag geregnet hat... 
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> E1: x1 + x2 + x3 = 4 (I)
> E2: 15 x1 + 10 x2 + 6 x3 = 30 (II)
>
> Von jetzt an habe ich mich an einem Lösungsbeispiel für
> solche Aufgaben in unserem Mathebuch orientiert:
Gute Idee! 
> Um eine Variable (x3) loszuwerden, multiplizierte ich die
> Gleichung (I) mit -6 und addierte die daraus entstandene
> Gleichung (I*) dann zur unveränderten Gleichung II.
>
> -6 x1 - 6 x2 - 6 x3 = -24 (I*)
> + 15 x1 + 10 x1 + 6 x3 = 30 (II)
> ---------------------------------------------
> 9 x1 + 4 x2 = 6 (I**)
>
> 1. Frage: Geht das so?? Kann man sich einfach irgendeinen
> Weg suchen, um eine Variable loszuwerden?
Genau so kannst du es machen. Was du mit "irgendeinen Weg" genau meinst, weiß ich nicht. Aber in gewisser Weise kannst du schon "irgendeinen Weg" nehmen, so lange du folgende Regeln beachtest: Du darfst: Eine Gleichung mit einer Zahl [mm] \not=0 [/mm] multiplizieren (demnach theoretisch auch divideren, das schreiben man aber dann meistens auch als Multiplikation mit dem Kehrbruch), zwei Zeilen addieren, (aus diesen beiden folgt dann auch das, was du hier gemacht hast, nämlich das Vielfache einer Zeile zu einer Zeile addieren bzw. subtrahieren - du hast hier ja das "Minus-Sechsfache" der ersten Zeile zur zweiten addiert) und du darfst Zeilen vertauschen, was dir aber bei dieser Lösungsmethode wohl egal ist da du es nicht brauchst. Und nach diesen Regeln darfst du deine Gleichungen beliebig umformen, um eine Variable loszuwerden.
> Dann machte ich wie im Beispiel weiter: ich schrieb
> anstelle der !. Gleichung die Gleichung I**.
Bist du sicher, dass du deine erste Zeile nun ersetzen musst? Ich glaube eher, du musst die zweite ersetzen. Du hast ja quasi die zweite Zeile verändert, in der zweiten Zeile ist eine Variable weggefallen. Die erste Gleichung bleibt im Prinzip gleich, oder du nimmst sie halt mit 6 multipliziert. Aber du müsstest im Folgenden wohl mit folgenden beiden Gleichungen weiterrechnen:
[mm] x_1+x_2+x_3=4
[/mm]
[mm] 9x_1+4x_2=6
[/mm]
> Im Buch kam nun eine Stelle, an der einfach eine Variable
> durch "irgendwas mal t" ersetzt wurde.
>
> Also setzte ich x1 = 4t.
Wie kommst du gerade auf 4? Wurde im Buch auch 4 genommen? Hatte das vielleicht einen besonderen Grund?
Also, wenn wir mal einfach nachdenken und die Gleichungen angucken, dann sehen wir doch, dass wir nur zwei Gleichungen aber drei Unbekannte haben. Also bekommen wir unendliche viele Lösungen raus (nämlich in Abhängigkeit von einer Variablen). Das heißt, wir können eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und dies dann in die andere Gleichung einsetzen. Ich mache das mal so:
[mm] 9x_1+4x_2=6 \gdw 4x_2=6-9x_1 \gdw x_2=1,5-2,25x_1
[/mm]
Wenn wir das nun in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir:
[mm] x_1+1,5-2,25x_1+x_3=4 \gdw -1,25x_1+x_3=2,5 \gdw x_3=2,5+1,25x_1
[/mm]
> Das setzte ich in die beiden ursprünglichen Gleichungen ein
> und erhielt so x2 = 1 + 9t
>
> Nach weiterem einsetzten und Gleichungen lösen erhielt ich
> x3 = -25t - 10/3
>
> Das erschien mir jedoch schon ziemlich eigentümlich.
Aber ich denke, vom Prinzip her war dein Vorgehen einigermaßen richtig. Nur darfst du halt nicht willkürlich etwas durch "irgendwas mal t" ersetzen.
> Meine Schnittgerade würde also lauten:
>
> -> ( 0 ) ( 4)
> g: x = (-1 ) + t ( 9)
> (-10/3) (-25)
>
> g: x = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -10/3}[/mm] + t [mm]\vektor{4 \\ 9 \\ -25}[/mm]
>
> Ist das richtig?!?
> Ich bin mir wirklich unsicher, und leider erklärt uns unser
> Lehrer auch nicht allzu viel. Er macht lieber eine
> Beispielaufgabe und lässt uns dann Rechenweg dann selbst
> erproben und heraussuchen, was mir leider weniger liegt und
> mich eher entmutigt als motiviert.
>
> Vielleicht könnte mir ja jemand sagen, ob das Ergebnis bzw.
> wenigstens der grobe Rechenweg stimmt. Wir werden das
> Ergebnis zwar morgen im Unterricht sicher gesagt bekommen,
> aber wahrscheinlich ohne Rechenweg und ich wüsste trotzdem
> gerne, ob und wo ich falsch gerechnet habe. Es eilt aber
> nicht.
Und wenn du es das nächste Mal etwas früher ins Forum stellst, dann kannst du danach sogar mit perfekt korrekt gelösten Hausaufgaben glänzen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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