Schnittgerade zweier Ebenen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
wenn ich die Lage zweier Ebene E1 und E2 untersuchen los:
e1:x=(0|4|-2)+r(1|0|0)+s(0|1|0)
e2:x=(5|2|0)+t(1|1|0)+v(-1|1|0)
1. prüfen. ob komplanar
1) 1=t-v
2) 0=t+v
3) 0=0+0
1)+2)
=> 2=2t
1) 1=1-v => v=0
2) 0=1+v => v=-1
3) 0=0+0
Folgerung nicht komplanar!!
Jetzt muss ich doch die Schnittgerade suchen, muss ich dazu e1 gleich e2 setzen?
Wenn ja dann habe ich ja 4 unbekannte (r,s,t,v,) aber nur 3 Gleichungen?
Gruß
Tobi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mo 30.01.2006 | | Autor: | kokiweb |
Hallo Tobi,
Man kann auch die Darstellung für X aus [mm] E_{1}
[/mm]
[mm] E_{1}: [/mm] X = [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ -2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0} (\lambda,\mu\in\IR)
[/mm]
in der Koordinatendarstellung für [mm] E_{2} [/mm] einsetzen (oder umgekehrt)...
Nun zu Deiner Ermittlung des Schnittes von den zwei Ebenen durch Gleichsetzung:
[mm] e1{\cap}e2: [/mm] (0|4|-2)+r(1|0|0)+s(0|1|0) = (5|2|0)+t(1|1|0)+v(-1|1|0)
Dies ist ein blödes Beispiel, da ganz offensichtlich
-2= r*0 + s*0 - t*0 - v*0
gar nicht gelten kann! Daher schneiden sich diese Ebenen auch nicht... Also ist [mm] e1{\cap}e2 [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Dass diese Ebenen sich nicht schneiden oder gleich sein müssen, sieht man auch daran, dass die parameterisierten Vektoren linear abhängig sind. Schnell dahingesagt sind Vektoren linear abhängig, wenn ein Vektor vielfaches der anderen Vektoren ist.
Falls Du zur lin. Anhängigkeit von Vektoren mehr wissen möchtest, sieh doch mal bei Wikipedia nach.
Ansonsten würde man das obige LGS nach der Gleichsetzung lösen und die errechneten Parameter dann in den jeweilig ursprüngliche Parameterdarstellung ((0|4|-2)+r(1|0|0)+s(0|1|0) oder (5|2|0)+t(1|1|0)+v(-1|1|0)) einsetzen. Du kannst Dein Ergebnis dann also mit den errechneten Werten in e1 eingesetzt oder mit den Werten in e2 eingesetzt darstellen und genau zusammenrechnen.
Sascha
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