Schnitt zweier Zylinder < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Do 24.03.2005 | | Autor: | micha77 |
Es geht um zwei Zylinder die sich scheiden. Die Zylinder stehen senkrecht zueinander. Der kleinere Zylinder mit Radius r schneidet den grossen Zylinder mit Radius R so dass er gerade noch innerhalb des grossen Zylinders ist. Was mich interessiert ist die Schittfläche die auf dem Mantel des grossen Zylinders liegt und von dem kleinen Zylinder eingeschlossen wird. siehe Grafik roter Bereich
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mein Lösungsansatz:
Die Mittelachse des grossen Zylinders entspricht der z-Achse. Die Mittelachse des kleineren Zylinders liegt in der xy-Ebene um R-r in positive x Richtung verschoben. Damit ergeben sich in kartesischen Koordinaten folgende Gleichungen für die Zylinder:
Grosser Zylinder: [mm] A = {x^2 + y^2 \le R^2} [/mm]
Kleiner Zylinder: [mm] B = {(x-R+r)^2+z^2 \le r^2}[/mm]
[mm] z = f(x,y) = \wurzel {-x^2 + 2x(R-r)+2rR-R^2} [/mm]
Für Flächen gilt:
[mm] A = \int \int \wurzel{f_x^2 + f_y^2 + 1} \,dydx [/mm]
Die Ableitungen von f(x,y):
[mm] f_x = \bruch{(-2x+2R-2r)}{ 2\wurzel {-x^2 + 2x(R-r) + 2rR-R^2}} [/mm]
[mm] f_y = 0 [/mm]
[mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] in A eingesetzt:
[mm] A=\int \int \wurzel{\left(\bruch{(-2x+2R-2r)}{ 2\wurzel {-x^2 + 2x(R-r) + 2rR-R^2}}\right)^2+1}\,dydx[/mm]
nach ein paar Umformungen:
[mm] A=\int \int \wurzel{\left(\bruch{r}{ \wurzel {-x^2 + 2x(R-r) + 2rR-R^2}}\right)}\, dydx[/mm]
als Integrationgrenzen habe ich aus der Gleichung für den grossen Zylinder:
[mm] R-2r\le x\le R [/mm] und [mm]-\wurzel{R^2-x^2}\le y \le \wurzel{R^2-x^2} [/mm]
Jetzt kommen meine Fragen...
1. Stimmt mein Ansatz und die Gleichungen?
2. Wie berechne ich ich nun das Doppelintegral?
3. Gibt es noch eine einfachere Lösung, zum Beispiel Projektion einer Kugel auf einen Zylinder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für eure Hilfe
Micha
Mit der Hilfe von Hexe konnte ich eine Lösung des Problems finden!
Leider war mein Ansatz schon falsch, da sich die Fläche auf Zylinder A befindet und nicht auf Zylinder B muss ich die Funktionen folgendermassen aufstellen:
Grosser Zylinder: [mm] A = {z^2 + y^2 \le R^2} [/mm]
Kleiner Zylinder: [mm] B = {(y-R+r)^2+x^2 \le r^2}[/mm]
[mm] z = f(x,y) = \wurzel {R^2-y^2} [/mm]
Für die Fläche(Oberfläche) gilt:
[mm] O = \int \int \wurzel{f_x^2 + f_y^2 + 1} \,dxdy [/mm]
Die Ableitungen von f(x,y):
[mm] f_y = \bruch{y}{ \wurzel {R^2-y^2}} [/mm]
[mm] f_x = 0 [/mm]
[mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] in O
[mm] O=\int \int \wurzel{\left(\bruch{y}{ \wurzel {R^2-y^2}}\right)^2+1}\,dxdy[/mm]
[mm] O=R\int \int {\bruch{1}{ \wurzel {R^2-y^2}}\,dxdy[/mm]
mit den Integrationsgrenzen:
[mm] - \wurzel {-y^2 + 2y(R-r)+2rR-R^2} \le x \le \wurzel {-y^2 + 2y(R-r)+2rR-R^2}[/mm]
oder [mm] - \wurzel {(y+2r-R)(R-y)} \le x \le \wurzel {(y+2r-R)(R-y)}[/mm]
[mm] -2r+R \le y \le R [/mm]
O nach x integriert und Grenzen eingesetzt:
[mm] O=R \int {\bruch{2(y+2r-R)(R-y)}{ \wurzel {(R-y)(R+y)}}\,dy [/mm]
Integration nach y laut Bronstein:
[mm] O=2R \li( \wurzel{(y+2r-R)(R+y)}-2(R-r)ln \li(\wurzel{y+2r-R}+\wurzel{R+y} \re)\re) [/mm] mit [mm] -2r+R \le y \le R [/mm]
durch einsetzen der Grenzen erhält man dann die Lösung, die auch richtig zu sein scheint.
Vielen Dank nochmal an Hexe, die den entscheidenden Tip gegeben hat, dass man die Gleichung in Partialbrüche zerlegen kann und sich damit die Gleichung vereinfachen lässt.
Grüsse Micha
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Do 24.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Micha!
Leider kann man deine Grafik irgendwie nicht sehen... :-(
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Do 24.03.2005 | | Autor: | micha77 |
Hab die Grafik eingefügt war jpg statt gif...
Gruss Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Hexe |
Also zunächst mal hast du in deiner letzten Angabe eine Wurzel zuviel
Das muss so heissen:
[mm]A=\int \int \left(\bruch{r}{ \wurzel {-x^2 + 2x(R-r) + 2rR-R^2}}\right)\, dydx[/mm]
> als Integrationgrenzen habe ich aus der Gleichung für den
> grossen Zylinder:
> [mm]R-2r\le x\le R[/mm] und [mm]-\wurzel{R^2-x^2}\le y \le \wurzel{R^2-x^2}[/mm]
>
>
> Jetzt kommen meine Fragen...
> 1. Stimmt mein Ansatz und die Gleichungen?
Tut mir leid das weiss ich nicht ich kanns nur annehmen und weitermachen
> 2. Wie berechne ich ich nun das Doppelintegral?
Da y nicht vor kommt einfach: zuerst integrierst du eine Konstante nach y das gibt [ k*y] Grenzen einsetzen, ergibt nach vereinfachung :
[mm] A=\int \left(\bruch{r \wurzel{R+x}}{ \wurzel {x+2r-R}}\right)\, [/mm] dx Diese Integral löst man jetzt mit partieller inegration oder durch nachlesen und erhält:
[mm] A=r(\wurzel{(R+x)(x+2r-R)}-(2r-2R)ln|\wurzel{x+R}+\wurzel{x+2r-R}| [/mm] )
Wie gesagt Rechenweg.:gute Formelsammlung
> 3. Gibt es noch eine einfachere Lösung, zum Beispiel
> Projektion einer Kugel auf einen Zylinder?
Weiss ich leider nicht
> Vielen Dank für eure Hilfe
> Micha
I)ch hoffe es hat geholfen
Hexe
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