Schnitt zweier Teilräume II < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V [mm] =\IR^4 [/mm] über [mm] \IR [/mm] und U und W bezeichne die beiden Teilräume
[mm] U=[\vektor{1\\0\\1\\2},\vektor{1\\1\\2\\4},\vektor{2\\1\\3\\6}] [/mm] und [mm] W=[\vektor{-1\\2\\1\\2},\vektor{1\\-1\\1\\1}].
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] dim_{\IR}U,dim_{\IR}W,dim_{\IR}(U \cap W),dim_{\IR}(U+W) [/mm] |
Hallo!
Das weiß ich: [mm] dim_{\IR}U=3 [/mm] und [mm] dim_{\IR}W=2
[/mm]
Und dann bin ich wieder mal beim Schnitt von Teilräumen...
Wenn ich zwei [mm] \IR^3 [/mm] Vektoren hab,schneide ich Ebenen, aber wie gehe ich hier vor? Eine allgemeine Erklärung wäre mir sehr recht,damit ichs selber rechnen kann...
Und wie rechne ich dann U+W? Einfach alle Vektoren addieren?
Danke im Vorraus,
Rebell der Sonne
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Hallo,
> Es sei V [mm]=\IR^4[/mm] über [mm]\IR[/mm] und U und W bezeichne die beiden
> Teilräume
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> [mm]U=[\vektor{1\\0\\1\\2},\vektor{1\\1\\2\\4},\vektor{2\\1\\3\\6}][/mm]
> und [mm]W=[\vektor{-1\\2\\1\\2},\vektor{1\\-1\\1\\1}].[/mm]
> Bestimmen Sie [mm]dim_{\IR}U,dim_{\IR}W,dim_{\IR}(U \cap W),dim_{\IR}(U+W)[/mm]
>
> Hallo!
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> Das weiß ich: [mm]dim_{\IR}U=3[/mm] und [mm]dim_{\IR}W=2[/mm]
Dann weißt Du zuviel. Schau Dir U nochmal an.
> Und dann bin ich wieder mal beim Schnitt von Teilräumen...
>
> Wenn ich zwei [mm]\IR^3[/mm] Vektoren hab,schneide ich Ebenen, aber
> wie gehe ich hier vor? Eine allgemeine Erklärung wäre mir
> sehr recht,damit ichs selber rechnen kann...
Für [mm] U\cap \a{}W [/mm] suchst Du alle Vektoren aus V, die sowohl als Linearkombination der Basisvektoren von U als auch als Linearkombination der Basisvektoren von W darstellbar sind. Das ist vektoriell eine einfache Gleichung, die dann in Koordinaten übersetzt ein LGS ergibt, für das Du eigentlich nur die Determinante einer [mm] 4\times4-Matrix [/mm] bestimmen musst.
> Und wie rechne ich dann U+W? Einfach alle Vektoren
> addieren?
Weißt Du, was Du tust?
U+W wird üblicherweise so geschrieben, aber vielleicht hätte Dir U [mm] \cup [/mm] W ja weiter geholfen.
Du suchst alle Vektoren aus V, die zu U oder zu W oder zu beiden gehören: logisches "oder".
edit: siehe den folgenden Beitrag von Angela.
Dann bestimme die Dimension von (U+W). Sie wird höchstens dimU+dimW-1 betragen. (edit: auch das stimmt nicht allgemein)
> Danke im Vorraus,
> Rebell der Sonne
(ein r, ehrlich)
Grüße,
rev
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> > Es sei V [mm]=\IR^4[/mm] über [mm]\IR[/mm] und U und W bezeichne die beiden
> > Teilräume
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> [mm]U=[\vektor{1\\0\\1\\2},\vektor{1\\1\\2\\4},\vektor{2\\1\\3\\6}][/mm]
> > und [mm]W=[\vektor{-1\\2\\1\\2},\vektor{1\\-1\\1\\1}].[/mm]
> U+W wird üblicherweise so geschrieben, aber vielleicht
> hätte Dir [mm]U\cup \a{}W[/mm] ja weiter geholfen.
> Du suchst alle Vektoren aus V, die zu U oder zu W oder zu
> beiden gehören: logisches "oder".
Hallo,
das ist verkehrt.
In U+W sind durchaus auch Vektoren enthalen, die weder in U noch in W liegen.
Es ist [mm] U\cup [/mm] W [mm] \subseteq [/mm] U+W.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Mo 15.12.2008 | | Autor: | reverend |
Grummel; natürlich.
Danke fürs Gegenlesen und die Korrektur, Angela!
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> Es sei V [mm]=\IR^4[/mm] über [mm]\IR[/mm] und U und W bezeichne die beiden
> Teilräume
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> [mm]U=[\vektor{1\\0\\1\\2},\vektor{1\\1\\2\\4},\vektor{2\\1\\3\\6}][/mm]
> und [mm]W=[\vektor{-1\\2\\1\\2},\vektor{1\\-1\\1\\1}].[/mm]
> Bestimmen Sie [mm]dim_{\IR}U,dim_{\IR}W,dim_{\IR}(U \cap W),dim_{\IR}(U+W)[/mm]
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> Hallo!
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> Das weiß ich: [mm]dim_{\IR}U=3[/mm] und [mm]dim_{\IR}W=2[/mm]
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> Und dann bin ich wieder mal beim Schnitt von Teilräumen...
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> Wenn ich zwei [mm]\IR^3[/mm] Vektoren hab,schneide ich Ebenen, aber
> wie gehe ich hier vor? Eine allgemeine Erklärung wäre mir
> sehr recht,damit ichs selber rechnen kann...
Hallo,
daß Deine eine UR-Dimension falsch ist, hat Dir der reverend ja schon gesagt.
Bevor Du Dich bei dieser Aufgabe rechnend ins Unglück stürzt, lohnt es sich, wenn Du den Aufgabentext nochmal liest:
die wollen von Dir weder den Schnitt noch die Summe wissen, sondern lediglich deren Dimensionen - was natürlich nicht ausschließt, daß man aus Wißbegierde das andere auch noch macht.
> Und wie rechne ich dann U+W? Einfach alle Vektoren
> addieren?
Hier käme nun wieder meine Standardfrage, verwendbar in fast allen Forensituationen: wie ist denn das definiert? (Schau mal nach und laß Dir#s auf der Zunge zergehen, dan nerst lies weiter.)
Es ist
[mm] \{\vektor{1\\0\\1\\2},\vektor{1\\1\\2\\4},\vektor{2\\1\\3\\6} ,\vektor{-1\\2\\1\\2},\vektor{1\\-1\\1\\1}\} [/mm]
ein Erzeugendensystem von U+W, eine Basis findest Du, wenn Du hieraus eine maximale linear unabhängige Teilmenge abfischst,
also etwa die Basis von U durch geeignete Vektoren des Erzeugendensystems von W ergänzt.
Man kann sich hier auch des Gaußalgorithmus bedienen: stelle die 5 Vektoren in eine Matrix, bringe sie auf ZSF und lies ab, welche linear unabhängig sind.
(Wenn Du nicht weißt wie, poste Matrix und ZSF.)
Wenn Du die Dimension von U+W hast, brauchst Du nur noch den Satz zu bemühen, in welchem die Dimensionen von U+W und [mm] U\cap [/mm] W vorkommen.
Gruß v. Angela
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