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| Aufgabe | Seien I und J nichtleere Mengen. Fur jedes i [mm] $\in$ [/mm] I sei [mm] $M_i$ [/mm] eine Menge und für jedes j [mm] $\in$ [/mm] J sei [mm] $M_j$ [/mm] eine Menge.
Beweisen Sie die folgende Aussage:
[mm] $\quad \left(\bigcup_{i \in I} M_i\right) \quad \cap \quad \left(\bigcup_{j \in J} M_j\right) \quad [/mm] = [mm] \quad \bigcup_{(i,j)\in I x J} (M_i \cap M_j)$ [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://forum.mathepedia.de/index.php?topic=10.0
Das Problem liegt darin begraben, dass mir schon der Ansatz für die Hernagehensweise fehlt.
Ich freue mich über jede Hilfe die ich kriegen kann.
Liebe Grüße, André
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> Seien I und J nichtleere Mengen. Fur jedes i [mm]\in[/mm] I sei [mm]M_i[/mm]
> eine Menge und für jedes j [mm]\in[/mm] J sei [mm]M_j[/mm] eine Menge.
> Beweisen Sie die folgende Aussage:
> [mm]\quad \left(\bigcup_{i \in I} M_i\right) \quad \cap \quad \left(\bigcup_{j \in J} M_j\right) \quad = \quad \bigcup_{(i,j)\in I x J} (M_i \cap M_j)[/mm]
> Das Problem liegt darin begraben, dass mir schon der Ansatz
> für die Hernagehensweise fehlt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn der "Ansatz" fehlt, kann das ganz verschiedene Ursachen haben, und es wäre gut, wenn Du mal sagen wurdest, wo das Problem ist.
Prinzipiell ist es so, daß wir rechts und links des Gleichheitszeichens je eine Menge haben, deren Gleichheit zu zeigen ist.
Lt. Definition für die Gleichheit von Mengen ist hierfür zu zeigen, daß jede Menge Teilmenge der anderen ist.
Zu zeigen ist also
a)
[mm]\quad \left(\bigcup_{i \in I} M_i\right) \quad \cap \quad \left(\bigcup_{j \in J} M_j\right) \quad \subseteq \quad \bigcup_{(i,j)\in I x J} (M_i \cap M_j)[/mm]
b)
[mm]\quad \bigcup_{(i,j)\in I x J} (M_i \cap M_j)\subseteq\quad \left(\bigcup_{i \in I} M_i\right) \quad \cap \quad \left(\bigcup_{j \in J} M_j\right) [/mm]
Wenn Du Dir die Teilmengendefinition anschaust, siehst Du, daß hierfür zu zeigen ist
a)
[mm]\quad x\in\left(\bigcup_{i \in I} M_i\right) \quad \cap \quad \left(\bigcup_{j \in J} M_j\right) \quad \Rightarrow \quad x\in\bigcup_{(i,j)\in I x J} (M_i \cap M_j)[/mm]
b)
[mm]\quad x\in\bigcup_{(i,j)\in I x J} (M_i \cap M_j)\Rightarrow\quad x\in \left(\bigcup_{i \in I} M_i\right) \quad \cap \quad \left(\bigcup_{j \in J} M_j\right) [/mm]
Damit steht der Ansatz.
Nun kann ich mir vorstellen, daß das Problem eher woanders liegt: in den ganzen Zeichen.
Ich mache mir in solchen Fällen immer ein konkretes Beispiel.
Sei [mm] I:=\{1,2\} [/mm] und [mm] J:=\{a,b,c}.
[/mm]
Was bedeutet es, wenn dasteht "für jedes [mm] i\in [/mm] I ist [mm] M_i [/mm] eine Menge"?
Es bedeutet: [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] sind Mengen.
Was bedeutet es, wenn dasteht "für jedes [mm] j\in [/mm] J ist [mm] M_j [/mm] eine Menge"?
Es bedeutet: ...
Was ist nun [mm] $\left(\bigcup_{i \in I} M_i\right)$?
[/mm]
[mm] $\left(\bigcup_{i \in I} M_i\right)$=$\left(\bigcup_{i \in \{1,2\}} M_i\right)$= [/mm] ???
Entsprechend
[mm] \left(\bigcup_{j \in J} M_i\right)=...
[/mm]
Was ist also
[mm] $\quad \left(\bigcup_{i \in I} M_i\right) \quad \cap \quad \left(\bigcup_{j \in J} M_j\right) [/mm] $?
Nun zur rechten Seite.
Was ist [mm] I\times [/mm] J? Das ist die Menge, die aus allen Paaren besteht, deren erster Eintrag aus I und deren zweiter Eintrag aus J ist.
Welche Paare sind das?
Damit kennst Du [mm] I\times [/mm] J.
Versuche nun mal die rechte Seite konkret hinzuschreiben. Wenn du nicht klarkommst, formuliere genau, an welcher Stelle Dein Problem liegt.
Gruß v. Angela
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