Schittkreis zweier Kugeln < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Do 02.03.2006 | | Autor: | svenchen |
Abend zusammen!
Ich habe zwei Kugeln, die sich schneiden. (kein Sonderfall ).
Könnt ihr mir das generelle Vorgehen zur Bestimmung des Schnittkreises (Radius und Mittelpunkt) erklären ? (nicht der Weg: erst 2 gleichungen gleichsetzen und dann die Ebene die entsteht mit einer Kugel schneiden. bin an der geometrischen Lösung interessiert, da kann man wohl irgendwie zweimal den Phytagoras aufstellen)...
danke euch!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Fr 03.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Abend zusammen!
>
> Ich habe zwei Kugeln, die sich schneiden. (kein Sonderfall
> ).
>
> Könnt ihr mir das generelle Vorgehen zur Bestimmung des
> Schnittkreises (Radius und Mittelpunkt) erklären ? (nicht
> der Weg: erst 2 gleichungen gleichsetzen und dann die Ebene
> die entsteht mit einer Kugel schneiden. bin an der
> geometrischen Lösung interessiert, da kann man wohl
> irgendwie zweimal den Phytagoras aufstellen)...
Mal schaun ob das hier das ist was du wissen willst 
Nun, geometrisch kannst du das ganze auf den Schnitt zweier Kreise zurueckfuehren: Du schaust 'passend' von der Seite drauf. Dann hast du (etwa im Nullpunkt und im Punkt $(x, 0)$) zwei Kreise mit Radien [mm] $r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm] und Abstand $x$. Wenn du die beiden Schnittpunkte hast, bekommst du sowohl den Radius des Schnittkreises als auch den Schittpunkt der Kreisebene mit der Verbindungsgeraden zwischen den Mittelpunkten der Kugeln.
Das zweidimensionale Problem ist im Prinzip das gleiche wie: Gegeben sind die drei Seitenlaengen eines Dreiecks, finde die Hoehe (von einer vorgegebenen der drei Seiten aus als Grundseite gesehen). Jetzt kannst du mit (dem zweidimensionalen) Phytagoras eine Gleichung aufstellen, die du loesen kannst.
Alternativ kannst du das auch als Minimierungsproblem betrachten: fuer einen Punkt $(t, 0)$ auf der Verbindungsgerade $(0, 0)$ und $(x, 0)$, also $0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] x$, betrachte die Funktion $f(t) := [mm] |\sqrt{r_1^2 - t^2} [/mm] - [mm] \sqrt{r_2^2 - (1-t)^2}|$ [/mm] (oder besser, deren Quadrat), welche die Abweichung der Hoehen angibt: ist $f(t) = 0$, so ist $(t, 0)$ der Punkt, an dem die Schnittgerade (durch die beiden Schnittpunkte) die $x$-Achse beruehrt.
Hilft dir das?
LG Felix
|
|
|
|
