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| Aufgabe | Bestimme die Asymptoten folgender Funktion:
f(x)= [mm] \bruch{x^{3}+2x^{2}+1}{x^{2}-4} [/mm] |
Hallo MatheForum!
Habe Schwierigkeiten mit der Polynomdivision bei der Ermittlung der schiefen Asymptote oben stehender Funktion!
Gefragt ist ja nach den Asymptoten.
Die senkrechte A. ermittelt man durch Nullsetzen des Zählers, dann Anwendung der Mitternachtsformel usw. Kein Problem!
Bei der schiefen A. muss ich Polynomdivision anwenden, da Zählergrad > Nennergrad.
Und hier beginnt das Problem. Irgendwie scheitere ich an der PN!
Ich versuche mal sie hier aufzuschreiben. Ich hoffe mir kann jemand sagen, was ich falsch mache!
PN:
[mm] (x^{3}+2x^{2}+1):(x^{2}-4) [/mm] = [mm] x+2+\bruch{4}{x}...
[/mm]
[mm] -(x^{3}-4x)
[/mm]
------------
[mm] 0+2x^{2}+4x
[/mm]
- [mm] (2x^{2}-8)
[/mm]
------------
0+4x+8
- [mm] (4x-\bruch{1}{x})
[/mm]
-------------------
[mm] 0+8+\bruch{1}{x}
[/mm]
......
Hier höre ich jetzt auf, da das sonst ja immer so weiter geht.
Was mache ich falsch?
Würde mich über Hilfe freuen!
Vielen Dank.
LG Eli
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> Bestimme die Asymptoten folgender Funktion:
> f(x)= [mm]\bruch{x^{3}+2x^{2}+1}{x^{2}-4}[/mm]
> Hallo MatheForum!
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> Habe Schwierigkeiten mit der Polynomdivision bei der
> Ermittlung der schiefen Asymptote oben stehender Funktion!
>
> Gefragt ist ja nach den Asymptoten.
> Die senkrechte A. ermittelt man durch Nullsetzen des
> Zählers, dann Anwendung der Mitternachtsformel usw. Kein
> Problem!
>
> Bei der schiefen A. muss ich Polynomdivision anwenden, da
> Zählergrad > Nennergrad.
> Und hier beginnt das Problem. Irgendwie scheitere ich an
> der PN!
> Ich versuche mal sie hier aufzuschreiben. Ich hoffe mir
> kann jemand sagen, was ich falsch mache!
>
> PN:
>
> [mm](x^{3}+2x^{2}+1):(x^{2}-4)[/mm] = [mm]x+2+\bruch{4}{x}...[/mm]
> [mm]-(x^{3}-4x)[/mm]
> ------------
> [mm]0+2x^{2}+4x[/mm]
> - [mm](2x^{2}-8)[/mm]
> ------------
> 0+4x+8
> - [mm](4x-\bruch{1}{x})[/mm]
> -------------------
> [mm]0+8+\bruch{1}{x}[/mm]
> ......
>
> Hier höre ich jetzt auf, da das sonst ja immer so weiter
> geht.
> Was mache ich falsch?
>
> Würde mich über Hilfe freuen!
> Vielen Dank.
>
> LG Eli
Du machst nichts falsch, es muss ja ein Rest übrig bleiben! Du teilst nur solange durch x (oder [mm] x^2), [/mm] bis du sozusagen auf einen grad von 0 kommst und nicht mehr sinnvoll durch [mm] x^2 [/mm] teilen kannst. Ziel ist es ja, eine Lösung zu erhalten, die aus der Asymptote g(x) UND einem Rest besteht. Nur die Asymptote kann niemals bei einer Polynomdivision rauskommen, denn die Asymptote beschreibt ja das Verhalten der Funktion im Unendlichen, der Rest jedoch beschreibt das Verhalten nahe 0 (oder wo die Funktion halt verläuft)
Für deine Rechnung heißt das, dass du schon bei 4x-8 aufhören kannst, denn das lässt sich NICHT mehr sinnvoll durch [mm] x^2 [/mm] teilen, sonst produzierst du ein 1/x und erhälst nur noch einen schlimmeren Rest. 4x-8 IST dein Rest, das heißt, dein Ergebnis lautet:
$ [mm] (x^{3}+2x^{2}+1):(x^{2}-4)=x+2+\bruch{4x-8}{x^2-4} [/mm] $
Das ist dein Ergebnis, wobei die Asymptote immer der Teil ohne Rest ist, also g(x)=x+2
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Hallo, Adamantin!
Danke für die Hilfe.
Hab's kapiert.
Es muss aber
.. = [mm] x+2+\bruch{4x+8}{x^2-4} [/mm] sein, oder?
Vielen Dank!
LG Eli
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