Schätzproblem < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich hoffe, dass ich die nächsten 3 Wochen noch überstehe. ... hab nämlich kein Bock scheiss Stochastik nochmal zu machen ... das brennt mir löcher ins Hirn.
Gegeben seien die Realisierungen [mm] x_{1},..., x_{n} [/mm] unabhängiger, identisch [mm] \IP_{ \nu} [/mm] verteilte Zufallsvariablen, wobei [mm] \IP_{ \nu} [/mm] die Gleichverteilung auf dem Intervall [mm] [0,\nu] [/mm] bezeichne. Der Parameter [mm] \nu \in (0,\infty) [/mm] sei unbekannt und soll aus den Realisierungen geschätzt werden.
Jetzt soll ich das Schätzproblem VOLLSTÄNDIG (was auch immer die damit meinen) aufschreiben und den ML-schätzer für den Parameter [mm] \nu [/mm] bestimmen.
Wenn mir mal einer eine Eingebung geben könnte, I WOULD BE GREATFUL!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Do 16.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Dichte einer [mm] $P_{\nu}$-verteilten [/mm] Zufallsvariable ist natürlich durch
$f(x) = [mm] \frac{1}{\nu} \cdot 1_{[0,\nu]}(x)$
[/mm]
gegeben. Daher ergibt sich als Likelihood-Funktion für [mm] $(x_1,\ldots,x_n) \in (0,+\infty)^n$:
[/mm]
[mm] $L(\nu;x_1,\ldots,x_n) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} \left( \frac{1}{\nu} \right)^n & , & \mbox{falls} \ x_i \le \nu \quad \mbox{für alle} \ i=1,\ldots,n,\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst}. \end{array} \right.$
[/mm]
Es gilt: [mm] $L(\nu;x_1,\ldots,x_n)=0$, [/mm] falls es ein [mm] $x_i>\nu$ [/mm] gibt. Die Funktion hat nichtnegative Werte und ist streng monoton fallend auf [mm] $[\max\{x_1,\ldots,x_n\},+\infty[$. [/mm] Daher nimmt sie ihr Maximum bei
[mm] $\hat{\nu} [/mm] = [mm] \max\{x_1,\ldots,x_n\}$
[/mm]
an. Damit ist [mm] $\max\{x_1,\ldots,x_n\}$ [/mm] ein Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] $\nu$.
[/mm]
Ist ja auch intuitiv völlig klar, wie ich finde...
Viele Grüße
Stefan
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