Schätzer (Beweise) < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Für ein [mm]\theta>0[/mm] seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit [mm]X_i\sim SG[0,\theta][/mm].
([mm]SG[0,\theta][/mm] soll die stetige Gleichverteilung auf [mm][0,\theta][/mm] sein.)
1.) Zeigen Sie, daß für jedes [mm]n\in\mathbb N[/mm]
[mm]T_n(X_1,...,X_n)=\frac{2}{n}(X_1+...+X_n)[/mm]
ein erwartungstreuer Schätzer für den Parameter [mm]\theta[/mm] ist.
2.) Bestimmen Sie die Varianz von [mm]T_n[/mm].
3.) Zeigen Sie, daß [mm]T_1, T_2,...[/mm] eine konsistente Schätzfolge für [mm]\theta[/mm] ist. |
Hallo, liebe Helferinnen und Helfer!
Ich benötige wieder Eure Hilfe.
Hier sind meine bisherigen Ideen zu 1.) und 2.). Die Aufgabe 3.) habe ich bis jetzt noch nicht bearbeitet, da werde ich später noch Fragen stellen.
1.) "Erwartungstreu" heißt meines Wissens, daß, wenn man den Erwartungswert von [mm]T_n[/mm] bestimmt (unter der Voraussetzung, daß der unbekannte Parameter [mm]\theta[/mm] zugrunde liegt), man gerade [mm]\theta[/mm] als Erwartungswert bekommt.
Dies ist hier m.E. erfüllt, denn:
[mm]E\left(\frac{2}{n}(X_1+...+X_n)\right)=\frac{2}{n}\cdot E(X_1+...+X_n)=\frac{2}{n}\cdot E(X_1)+...+E(X_n)=\frac{2}{n}\cdot n\cdot \frac{\theta}{2}=\theta[/mm], wobei ich hier verschiedene Eigenschaften des Erwartungswerts (Linearität,...) benutzt habe.
2.) Sollte man hier [mm]\operatorname{Var}(T_n)=E(T_n^2)-E(T_n)^2[/mm] verwenden?
Dann käme ich vorerst auf:
[mm]\operatorname{Var}(T_n)=E\left(\left(\frac{2}{n}(X_1+...+X_n)\right)^2\right)-\underbrace{\theta^2}_{=E(T_n)^2}[/mm]
Wie geht es hier weiter (sofern es bis hierhin okay ist)?
Ich freue mich über jede Hilfe von Euch!
LG
mikexx
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> Für ein [mm]\theta>0[/mm] seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] unabhängig und
> identisch verteilte Zufallsvariablen mit [mm]X_i\sim SG[0,\theta][/mm].
>
> ([mm]SG[0,\theta][/mm] soll die stetige Gleichverteilung auf
> [mm][0,\theta][/mm] sein.)
>
> 1.) Zeigen Sie, daß für jedes [mm]n\in\mathbb N[/mm]
>
> [mm]T_n(X_1,...,X_n)=\frac{2}{n}(X_1+...+X_n)[/mm]
>
> ein erwartungstreuer Schätzer für den Parameter [mm]\theta[/mm]
> ist.
>
> 2.) Bestimmen Sie die Varianz von [mm]T_n[/mm].
>
> 3.) Zeigen Sie, daß [mm]T_1, T_2,...[/mm] eine konsistente
> Schätzfolge für [mm]\theta[/mm] ist.
> Hallo, liebe Helferinnen und Helfer!
>
> Ich benötige wieder Eure Hilfe.
>
> Hier sind meine bisherigen Ideen zu 1.) und 2.). Die
> Aufgabe 3.) habe ich bis jetzt noch nicht bearbeitet, da
> werde ich später noch Fragen stellen.
>
>
> 1.) "Erwartungstreu" heißt meines Wissens, daß, wenn man
> den Erwartungswert von [mm]T_n[/mm] bestimmt (unter der
> Voraussetzung, daß der unbekannte Parameter [mm]\theta[/mm]
> zugrunde liegt), man gerade [mm]\theta[/mm] als Erwartungswert
> bekommt.
>
> Dies ist hier m.E. erfüllt, denn:
>
> [mm]E\left(\frac{2}{n}(X_1+...+X_n)\right)=\frac{2}{n}\cdot E(X_1+...+X_n)=\frac{2}{n}\cdot E(X_1)+...+E(X_n)=\frac{2}{n}\cdot n\cdot \frac{\theta}{2}=\theta[/mm],
> wobei ich hier verschiedene Eigenschaften des
> Erwartungswerts (Linearität,...) benutzt habe.
Das ist soweit in Ordnung
>
> 2.) Sollte man hier
> [mm]\operatorname{Var}(T_n)=E(T_n^2)-E(T_n)^2[/mm] verwenden?
Einfacher geht es mit den Rechenregeln für die Varianz:
[mm] V(X_1+...+X_n)=V(X_1)+...+V(X_n) [/mm] wegen Unabhängigkeit sowie [mm] V(aX)=a^2*V(X)
[/mm]
>
> Dann käme ich vorerst auf:
>
> [mm]\operatorname{Var}(T_n)=E\left(\left(\frac{2}{n}(X_1+...+X_n)\right)^2\right)-\underbrace{\theta^2}_{=E(T_n)^2}[/mm]
>
> Wie geht es hier weiter (sofern es bis hierhin okay ist)?
>
>
> Ich freue mich über jede Hilfe von Euch!
>
> LG
>
> mikexx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke für die sehr schnelle Antwort!
Ich errechne dann:
[mm]\operatorname{Var}\left(\frac{2}{n}(X_1+...+X_n)\right)=\frac{4}{n^2}\cdot n\cdot \frac{1}{\theta}\int_{0}^{\theta}x^2 \, dx=\frac{4\theta^2}{3n}[/mm].
Ist das richtig berechnet?
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> Danke für die sehr schnelle Antwort!
>
> Ich errechne dann:
>
> [mm]\operatorname{Var}\left(\frac{2}{n}(X_1+...+X_n)\right)=\frac{4}{n^2}\cdot n\cdot \frac{1}{\theta}\int_{0}^{\theta}x^2 \, dx=\frac{4\theta^2}{3n}[/mm].
>
> Ist das richtig berechnet?
Richtig ist [mm] \operatorname{Var}\left(\frac{2}{n}(X_1+...+X_n)\right)=\frac{4}{n^2}\cdot n*\operatorname{Var}(X_1),
[/mm]
bei [mm] Var(X_1)=E(X_1^2)-(EX_1)^2 [/mm] hast du allerdings den zweiten Teil vergessen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Dann komme ich auf [mm]\frac{\theta^2}{3n}[/mm].
Stimmt das?
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> Dann komme ich auf [mm]\frac{\theta^2}{3n}[/mm].
>
> Stimmt das?
Ja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Cool, dann habe ich das kapiert.
Eventuelle Fragen zu (3) werden folgen. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich habe erstmal eine begriffliche Frage.
Was meint man denn bei 3.) mit "konsistent".
Meint man schwache oder starke Konsistenz?
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> Ich habe erstmal eine begriffliche Frage.
>
> Was meint man denn bei 3.) mit "konsistent".
>
> Meint man schwache oder starke Konsistenz?
Das hängt erstmal davon ab, wie ihr das in der Vorlesung gemacht habt.
Normalerweise benutzt man aber im Zusammenhang mit Schätzfuktionen Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, was die schwache Konsistenz bedeutet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Ja, das "Problem" ist eben, daß wir in der Vorlesung nur schwache und starke Konsistenz definiert haben und ich daher mit dem alleinigen Begriff "Konsistenz" nichts anfangen kann.
Ich entscheide mich jetzt für die schwache Konsistenz.
Ich lese gerade in meinem Statistik-Buch Folgendes:
"Auch die schwache Konsistenz läßt sich in diesem Fall [gemeint ist: im Fall einer erwartungstreuen Schätzstatistik] einfach an der Varianz festmachen, da sich für erwartungstreue Schätzstatistiken die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung um [mm]\varepsilon[/mm] durch die Tschebyscheffsche Ungleichung abschätzen läßt. Es gilt wegen [mm]E(T)=\theta[/mm]
[mm]P(\vert T-\theta\vert\geq \varepsilon)\leq \frac{\operatorname{Var}(T)}{\varepsilon^2}[/mm].
Daraus folgt unmittelbar, daß jede erwartungstreue Schätzstatistik schwach konsistent ist, wenn [mm]\operatorname{Var}(T)\to 0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]."
ZITAT ENDE
Da hier bei meiner Aufgabe [mm]\operatorname{Var}(T_n)=\frac{\theta^2}{3\cdot n}[/mm] und dies gegen 0 geht für n gegen Unendlich, ist das schon der Beweis.
Sehe ich das richtig?
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> Ja, das "Problem" ist eben, daß wir in der Vorlesung nur
> schwache und starke Konsistenz definiert haben und ich
> daher mit dem alleinigen Begriff "Konsistenz" nichts
> anfangen kann.
>
> Ich entscheide mich jetzt für die schwache Konsistenz.
>
> Ich lese gerade in meinem Statistik-Buch Folgendes:
>
> "Auch die schwache Konsistenz läßt sich in diesem Fall
> [gemeint ist: im Fall einer erwartungstreuen
> Schätzstatistik] einfach an der Varianz festmachen, da
> sich für erwartungstreue Schätzstatistiken die
> Wahrscheinlichkeit einer Abweichung um [mm]\varepsilon[/mm] durch
> die Tschebyscheffsche Ungleichung abschätzen läßt. Es
> gilt wegen [mm]E(T)=\theta[/mm]
>
> [mm]P(\vert T-\theta\vert\geq \varepsilon)\leq \frac{\operatorname{Var}(T)}{\varepsilon^2}[/mm].
>
> Daraus folgt unmittelbar, daß jede erwartungstreue
> Schätzstatistik schwach konsistent ist, wenn
> [mm]\operatorname{Var}(T)\to 0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]."
>
> ZITAT ENDE
>
>
> Da hier bei meiner Aufgabe
> [mm]\operatorname{Var}(T_n)=\frac{\theta^2}{3\cdot n}[/mm] und dies
> gegen 0 geht für n gegen Unendlich, ist das schon der
> Beweis.
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> Sehe ich das richtig?
Ja. Die Hauptarbeit war der Aufgabenteil 2, 3. ist dann eine direkte Folgerung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Cool! Dann ist die Aufgabe fertig.
Vielen, vielen Dank an Dich!
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