www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Stochastik" - Schätzer-Likelihood- Funktion
Schätzer-Likelihood- Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Schätzer-Likelihood- Funktion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Di 15.03.2005
Autor: LairdTurner

Hallo!

Ich habe folgende Likelihood Funktion:

L( [mm] \delta;x1,...,xn)=\begin{cases} (\bruch{1}{\delta})^n, & xi \le\delta \mbox { für alle i = 1,...,n}\\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]

Warum nimmt diese Funktion bei:

[mm] \delta(x1,...,xn) [/mm] = max {x1,....xn} ihr Maximum an?

Das würde ja heißen, dass ab einem bestimmten Punkt xi, in diesem Fall  wäre xi das Maximum der Stichprobenwerte, die Funktion fallend wäre.
Aber warum ist sie fallend, die Stichprobenwerte können ja jeden Wert annehmen? Sicherlich irgendwo müssen sie ja einen Maximalwert haben, aber warum ist dann max{x1,...,xn} ein Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] \delta? [/mm] Wie lese ich das aus der Formel raus?
Kann mir da mal jemand behilflich sein!?
Danke!


mfg

   René

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Schätzer-Likelihood- Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Di 15.03.2005
Autor: Brigitte

Hallo Rene!

> L( [mm]\delta;x1,...,xn)=\begin{cases} (\bruch{1}{\delta})^n, & xi \le\delta \mbox { für alle i = 1,...,n}\\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]
>  
>
> Warum nimmt diese Funktion bei:
>  
> [mm]\delta(x1,...,xn)[/mm] = max {x1,....xn} ihr Maximum an?
>  
> Das würde ja heißen, dass ab einem bestimmten Punkt xi, in
> diesem Fall  wäre xi das Maximum der Stichprobenwerte, die
> Funktion fallend wäre.

Na ja, L ist ja in erster Linie eine Funktion von [mm] $\delta$!!! [/mm] Du sollst das [mm] $\delta^*$ [/mm] finden, an dem L maximal wird. Die Stichprobenwerte x1,...,xn sind nur Konstanten, die Du eben mitschleppen musst.

Schau Dir mal die Einschränkung $ xi [mm] \le\delta$ ($\forall i=1,\ldots, [/mm] n$) an, und zwar aus der Sicht von [mm] $\delta$. [/mm] Wenn [mm] $\delta \ge [/mm] xi$ für alle i gilt, dann ist das doch äquivalent mit [mm] $\delta \ge \max(x1,\ldots,xn)$. [/mm] Das heißt, die Funktion ist nur für [mm] $\delta \ge \max(x1,\ldots,xn)$ [/mm] von Null verschieden. An der Stelle [mm] $\delta^*=\max(x1,\ldots,xn)$ [/mm] springt die Funktion von Null weg und fällt danach gemäß [mm] $(1/\delta)^n$, [/mm] d.h. sie besitzt als Asymptote die [mm] $\delta$-Achse. [/mm] (Dass sie fällt, ist klar, oder?)
Daraus folgt aber doch, dass L an der Stelle [mm] $\delta^*=\max(x1,\ldots,xn)$ [/mm] am größten ist. Deshalb ist [mm] $\max(x1,\ldots,xn)$ [/mm] der Maximum-Likelihood-Schätzer.

Viele Grüße
Brigitte

P.S.: Kann gerade die Vorschau nicht nutzen. Sorry für evt. Tippfehler...

Bezug
                
Bezug
Schätzer-Likelihood- Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Di 15.03.2005
Autor: LairdTurner


> Hallo Rene!
>  
> > L( [mm]\delta;x1,...,xn)=\begin{cases} (\bruch{1}{\delta})^n, & xi \le\delta \mbox { für alle i = 1,...,n}\\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]
>  
> >  

> >
> > Warum nimmt diese Funktion bei:
>  >  
> > [mm]\delta(x1,...,xn)[/mm] = max {x1,....xn} ihr Maximum an?
>  >  
> > Das würde ja heißen, dass ab einem bestimmten Punkt xi,
> in
> > diesem Fall  wäre xi das Maximum der Stichprobenwerte,
> die
> > Funktion fallend wäre.
>  
> Na ja, L ist ja in erster Linie eine Funktion von [mm]\delta[/mm]!!!
> Du sollst das [mm]\delta^*[/mm] finden, an dem L maximal wird. Die
> Stichprobenwerte x1,...,xn sind nur Konstanten, die Du eben
> mitschleppen musst.
>
> Schau Dir mal die Einschränkung [mm]xi \le\delta[/mm] ([mm]\forall i=1,\ldots, n[/mm])
> an, und zwar aus der Sicht von [mm]\delta[/mm]. Wenn [mm]\delta \ge xi[/mm]
> für alle i gilt, dann ist das doch äquivalent mit [mm]\delta \ge \max(x1,\ldots,xn)[/mm].
> Das heißt, die Funktion ist nur für [mm]\delta \ge \max(x1,\ldots,xn)[/mm]
> von Null verschieden. An der Stelle
> [mm]\delta^*=\max(x1,\ldots,xn)[/mm] springt die Funktion von Null
> weg und fällt danach gemäß [mm](1/\delta)^n[/mm], d.h. sie besitzt
> als Asymptote die [mm]\delta[/mm]-Achse. (Dass sie fällt, ist klar,
> oder?)
>  Daraus folgt aber doch, dass L an der Stelle
> [mm]\delta^*=\max(x1,\ldots,xn)[/mm] am größten ist. Deshalb ist
> [mm]\max(x1,\ldots,xn)[/mm] der Maximum-Likelihood-Schätzer.
>  
> Viele Grüße
>  Brigitte
>  
> P.S.: Kann gerade die Vorschau nicht nutzen. Sorry für evt.
> Tippfehler...
>  

Hallo!

Okay, ich denke, daß ich das jetzt verstanden habe, hoffe ich! :-)
In diesem Zusammenhang verwirrt mich jetzt allerdings etwas...

Ich habe jetzt bspw. diese Funktion:

L( [mm]\delta;x_{1},...,x_{n})=\begin{cases} 2^n \delta^{2n} \produkt_{i=1}^{n}x_{i}^{-3}, & \mbox{ für} 0<\delta\le x_{i} \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]

Wenn ich mir jetzt die Einschränkung hinten angucke, dann wäre [mm] \delta\le x_{i} [/mm] äquivalent mit [mm] \delta\le min(x_{1},...,x_{n}), [/mm] oder? -> also das Minimum von [mm] (x_{1},...x_{n}) [/mm]
So weit, so gut, aber wie kann jetzt die Funktion L mit diesem Wert ihr Maximum annehmen!? Ab diesem Punkt fängt sie doch jetzt an zu steigen, aber dann liegt ja der maximalwert jetzt nicht im Minimum, eigentlich steigt die Funktion doch "ab dann", oder!?


mfg

   René

Bezug
                        
Bezug
Schätzer-Likelihood- Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Di 15.03.2005
Autor: Brigitte

Hallo Rene!

> Ich habe jetzt bspw. diese Funktion:
>  
> L( [mm]\delta;x_{1},...,x_{n})=\begin{cases} 2^n \delta^{2n} \produkt_{i=1}^{n}x_{i}^{-3}, & \mbox{ für} 0<\delta\le x_{i} \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]
>
> Wenn ich mir jetzt die Einschränkung hinten angucke, dann
> wäre [mm]\delta\le x_{i}[/mm] äquivalent mit [mm]\delta\le min(x_{1},...,x_{n}),[/mm]
> oder?

[ok]

>  So weit, so gut, aber wie kann jetzt die Funktion L mit
> diesem Wert ihr Maximum annehmen!? Ab diesem Punkt fängt
> sie doch jetzt an zu steigen, aber dann liegt ja der
> maximalwert jetzt nicht im Minimum, eigentlich steigt die
> Funktion doch "ab dann", oder!?

Nein, schau Dir noch mal die Fallunterscheidung der Funktion an. Für [mm]\delta> \min(x_{1},...,x_{n})[/mm] ist der Funktionswert Null. Das heißt, direkt nach der Stelle [mm]\min(x_{1},...,x_{n})[/mm] fällt die Funktion auf Null runter. Davor ist sie monoton steigend.
  
Viele Grüße
Brigitte

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]