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| Aufgabe | Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und f [mm] \in [/mm] V* . Dann existiert genau ein a [mm] \in [/mm] V , so dass für alle x [mm] \in [/mm] V gilt
f(x) = <x,a>
Beweis:
Existenz : Es sei [mm] {e_1, ...., e_n} [/mm] eine Orthonormalbasis von V. Wir machen den Ansazt:
a = [mm] \summe_{k=1}^{n}\alpha_k e_k. [/mm] Dann gilt dann für alle x = [mm] \summe_{k=1}^{n}x_k e_k \in [/mm] V:
<x, a> = < [mm] \summe_{k=1}^{n}x_k e_k, \summe_{r=1}^{n}\alpha_r e_r> [/mm] = [mm] \summe_{k,r=1}^{n}x_k\overline{\alpha_r} \delta_{kr} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} x_k \overline{\alpha_k}
[/mm]
Andererseits haben wir
f(x) = [mm] f(\summe_{k=1}^{n}x_k e_k) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} x_kf(e_k).
[/mm]
Setzen wir also [mm] \alpha_k:=\overline{f(e_k)} [/mm] für k = 1, ...., n so erhalten wir f(x) = <x,a>.
Eindeutigkeit: Es geht weiter.... |
Den beweis verstehe ich leider nicht. Könnt ihr bitte helfen?
Zuerst : Falls [mm] \alpha_r [/mm] eine Reelle Zahl ist was bedeutet [mm] \overline{\alpha_r}
[/mm]
1- $ [mm] \summe_{k=1}^{n}x_k e_k \in [/mm] $ ist [mm] x_k [/mm] eine Zahl oder ein Vektor?
2- $ [mm] <\summe_{k=1}^{n}x_k e_k, \summe_{r=1}^{n}\alpha_r e_r> [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k,r=1}^{n}x_k\overline{\alpha_r} \delta_{kr} [/mm] $
Was ist [mm] \overline{\alpha_r} [/mm] und [mm] \delta_{kr} [/mm] ???
3- $ [mm] \summe_{k,r=1}^{n}x_k\overline{\alpha_r} \delta_{kr} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=1}^{n} x_k \overline{\alpha_k} [/mm] $ ist [mm] \overline{\alpha_k} [/mm] gleich [mm] \overline{\alpha_r} \delta_{kr} [/mm] ???
Zuerst : Falls [mm] \alpha_r [/mm] ein Reelle Zahl ist was bedeutet [mm] \overline{\alpha_r}[/mm]
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Hallo
> Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt
> und f [mm]\in[/mm] V* . Dann existiert genau ein a [mm]\in[/mm] V , so
> dass für alle x [mm]\in[/mm] V gilt
> f(x) = <x,a>
>
> Beweis:
> Existenz : Es sei [mm]{e_1, ...., e_n}[/mm] eine Orthonormalbasis
> von V. Wir machen den Ansazt:
> a = [mm]\summe_{k=1}^{n}\alpha_k e_k.[/mm] Dann gilt dann für alle
> x = [mm]\summe_{k=1}^{n}x_k e_k \in[/mm] V:
>
> <x, a> = < [mm]\summe_{k=1}^{n}x_k e_k, \summe_{r=1}^{n}\alpha_r e_r>[/mm]
> = [mm]\summe_{k,r=1}^{n}x_k\overline{\alpha_r} \delta_{kr}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k \overline{\alpha_k}[/mm]
>
> Andererseits haben wir
> f(x) = [mm]f(\summe_{k=1}^{n}x_k e_k)[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} x_kf(e_k).[/mm]
>
> Setzen wir also [mm]\alpha_k:=\overline{f(e_k)}[/mm] für k = 1,
> ...., n so erhalten wir f(x) = <x,a>.
> Eindeutigkeit: Es geht weiter....
> Den beweis verstehe ich leider nicht. Könnt ihr bitte
> helfen?
>
> Zuerst : Falls [mm]\alpha_r[/mm] eine Reelle Zahl ist was bedeutet
> [mm]\overline{\alpha_r}[/mm]
[mm] \overline{z}=\overline{x+0*i}=x-0*i=x=x+0*i=z
[/mm]
Also bei reellen Zahlen ändert sich nichts durch das Konjugieren.
>
> 1- [mm]\summe_{k=1}^{n}x_k e_k \in[/mm] ist [mm]x_k[/mm] eine Zahl oder ein
> Vektor?
Was vermutest du denn? [mm] e_k [/mm] ist doch ein Vektor und x ist ein Vektor. Was muss dann [mm] x_k [/mm] sein?
>
> 2- [mm]<\summe_{k=1}^{n}x_k e_k, \summe_{r=1}^{n}\alpha_r e_r>[/mm]
> = [mm]\summe_{k,r=1}^{n}x_k\overline{\alpha_r} \delta_{kr}[/mm]
> Was
> ist [mm]\overline{\alpha_r}[/mm] und [mm]\delta_{kr}[/mm] ???
Das Kronecker-Symbol
[mm] \delta_{kr}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k\not= r \\ 1, & \mbox{für } k=r \end{cases}
[/mm]
>
> 3- [mm]\summe_{k,r=1}^{n}x_k\overline{\alpha_r} \delta_{kr}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k \overline{\alpha_k}[/mm] ist
> [mm]\overline{\alpha_k}[/mm] gleich [mm]\overline{\alpha_r} \delta_{kr}[/mm]
> ???
Ja in dem Fall ja. Denn für [mm] r\not= [/mm] k sind ja sowieso die Terme 0.
> Zuerst : Falls [mm]\alpha_r[/mm] ein Reelle Zahl ist was bedeutet
> [mm]\overline{\alpha_r}[/mm]
Gruß Patrick
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Vielen Dank.
Nur noch eine Frage:
$ [mm] <\summe_{k=1}^{n}x_k e_k, \summe_{r=1}^{n}\alpha_r e_r> [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k,r=1}^{n}x_k\overline{\alpha_r} \delta_{kr} [/mm] $
Warum sind die beide gleich?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Mo 24.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank.
>
> Nur noch eine Frage:
> [mm]<\summe_{k=1}^{n}x_k e_k, \summe_{r=1}^{n}\alpha_r e_r>[/mm] =
> [mm]\summe_{k,r=1}^{n}x_k\overline{\alpha_r} \delta_{kr}[/mm]
>
> Warum sind die beide gleich?
Weil das Skalarprodukt ![[]](/images/popup.gif) sesquilinear ist und die [mm] $e_i$ [/mm] eine Orthonormalbasis bilden.
LG Felix
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1-Wann ist ein Skalarprodukt Sesquilinear wann ist Bilinear?
2-Was ist die Unterschied?
3-Warum in diesem Fall Sesquiliner?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mo 24.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> 1-Wann ist ein Skalarprodukt Sesquilinear wann ist
> Bilinear?
Es ist immer sesquilinear. Nur manchmal darf man keine komplexen Zahlen benutzen, sondern nur reelle (falls es ein reeller Vektorraum ist), in dem Fall ist es zusaetzlich bilinear.
> 2-Was ist die Unterschied?
>
> 3-Warum in diesem Fall Sesquiliner?
Hast du den Link mal angeklickt? Sagt dir das [mm] $\overline{\bullet}$ [/mm] etwas?
LG Felix
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Danke.
Ja. Ich habe Sesquilinearform und Skalarprodukt von Wikipedia noch mal gelesen. Danke.
Jetzt ist es mir klar.
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