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| Aufgabe | | Im Satz von Pappos sei eine der beiden Geraden die unendlich ferne Gerade. Welchen Satz in der affinen Ebene erhalten wir? |
Hallo zusammen,
der Satz von Pappos in der Projektiven Geometrie lautet ja:
Es seien L [mm] \not= [/mm] M zwei Geraden der projektiven Ebene. Die drei Punkte [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3} \in [/mm] L und [mm] b_{1}, b_{2}, b_{3} \in [/mm] M seien voneinander und vom Schnittpunkt L [mm] \cap [/mm] M verschieden. Dann sind die drei Schnittpunkte [mm] \overline{a_{i} b_{j}} \cap \overline{a_{j} b_{i}}, i\not=j=1,2,3 [/mm] kollinear.
So wie die Aufgabe formuliert ist, nehme ich an, dass gemeint ist, dass eine der Geraden L, M die unendlich ferne Gerade ist, ich nehme an L sei die unendlich ferne. Prinzipiell kann ich mir unter der unedlich fernen Geraden etwas vorstellen. Aber sich das hier genau auswirken würde, kann ich mir nicht vorstellen. Ist denn L nun auch parallel zu M?
Nun sind ja auf L und M jeweils drei Punkte, die über Kreuz miteinander verbunden werden sollen. Wo liegen denn die entsprechenden Schnittpunkte? Oder schneiden die sich gar nicht? Sind die alle parallel?
Und was für ein Satz in der affinen Ebene ergibt sich daraus? Da gibt es doch eigentlich gar keine [mm] \infty-ferne [/mm] Gerade...
Ich hoffe, mir kann da jemand ein bisschen auf die Sprünge helfen...
Herzlichen Dank schonmal im Voraus! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Do 13.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne den Satz mit 2 endlichen geraden auf. 3 Punkte auf jeder Gerasen, nach vorschrift verbinden, die 3 Schnittpunkte liegen auf einer Geraden. verschieb die pbere Gerade ins unendlich, dann werden die 2 geraden, die von der unteren aus eine der oberen punkte trafen parallel. daraus mach dann deinen affinen Satz.
Gruss leduart
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