Satz von Banach-Steinhaus < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X ein Banachraum, Y ein normierter Raum. I Indexmenge, [mm] T_i [/mm] sei eine Familie beschränkter linearer Operatoren.
Aus
[mm] {sup}_i \parallel T_i(x) \parallel [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
folgt dann
[mm] {sup}_i \parallel T_i \parallel [/mm] < [mm] \infty [/mm] |
Hallo,
ich habe hier ein Verständnisproblem. Für beschränkte lineare Operatoren muss
[mm] {sup}_i \parallel T_i \parallel [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
ohnehin gelten, da die Beschränktheit ja gerade so definiert ist.
[mm] T_i [/mm] beschränkt [mm] \gdw \parallel T_i(x) \parallel \le \parallel T_i \parallel \parallel [/mm] x [mm] \parallel
[/mm]
mit [mm] \parallel T_i \parallel [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Was ist dann eigentlich das besondere an der Aussage dieses Satzes?
Grüße und danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Di 26.02.2008 | | Autor: | andreas |
hi
nach voraussetzung ist nur jeder operator einzeln beschränkt. die folge der normen der operatoren muss aber natürlich nicht beschränkt sein. betrachte das beispiel $X = Y = [mm] \mathbb{R}$, [/mm] $I = [mm] \mathbb{N}$, $T_i(x) [/mm] = ix$.
grüße
andreas
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