Satz über monotone Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Do 14.05.2015 | | Autor: | Mapunzel |
| Aufgabe | | Sei [mm] \left(\Omega, \mathcal{A}, \mu\right) [/mm] ein Maßraum und [mm] f:\Omega\mapsto \overline{\IR} [/mm] eine nichtnegative, messbare, numerische Funktion. Zeigen Sie, dass dann [mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}n\integral{log(1+\frac{f}{n}) d\mu}=\integral{f d\mu}$$ [/mm] ist. |
Also ich denke mir, dass man das mit dem Satz über monotone Konvergenz macht und will eigentlich nur wissen ob die Argumentation so richtig ist.
Sei dafür [mm] f_n=nlog(1+\frac{f}{n}).
[/mm]
Dann ist zu zeigen dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n= [/mm] f
ist. Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{log(1+\frac{f}{n})}{\frac{1}{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{-n^{-2}f\frac{1}{1+\frac{f}{n}}}{-n^{-2}} [/mm] = f. Da [mm] nlog\underbrace{\left(1+\frac{f}{n}\right)}_{\ge1}\ge [/mm] 0 und monoton wachsend, ist [mm] f_n [/mm] nicht negativ und als Verknüpfung messbarer Funktionen messbar, also folgt mit dem Satz über monotone Konvergenz was zu zeigen war.
Den Grenzwert hab ich mit l´Hospital berechnet, geht das so? Und Hab ich wirklich alle Bedingungen ausreichend überprüft? Danke im vorraus, mfg
Mapunzel
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Hiho,
es sieht soweit gut aus, bis auf:
> Da [mm]nlog\underbrace{\left(1+\frac{f}{n}\right)}_{\ge1}\ge[/mm] 0 und monoton wachsend
Ich sehe noch nicht, dass das wachsend sein sollte...
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Do 14.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hiho,
>
> es sieht soweit gut aus, bis auf:
>
> > Da [mm]nlog\underbrace{\left(1+\frac{f}{n}\right)}_{\ge1}\ge[/mm] 0
> und monoton wachsend
>
> Ich sehe noch nicht, dass das wachsend sein sollte...
na, vielleicht sollte man daran erinnern, dass der Log. (streng) wächst und
was man über eine gewisse e-Folge mal bewiesen hat... (1. Semester
Analysis).
Der Rest ist Puzzlearbeit. (Ich hoffe, dass das so klappen wird.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Do 14.05.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Marcel,
ich habe nicht daran gezweifelt, dass die Folge wächst 
Das war eher ein "Das solltest du noch begründen".
Allerdings ist dein Weg super, da man so sogar ohne l'Hopital auskommt um zu zeigen, dass [mm] $f_n \to [/mm] f$
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Mapunzel |
Ok, danke für die Antworten und überprüfen, das mit der strengen Monotonie vom Logarithmus meinte ich auch so, habs aber falsch aufgeschrieben. mfg mapunzel
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