Satz über implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Di 23.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei [mm]f(x,y) = x^5 + 5x^4 - 16y^2[/mm] , [mm]M = \{(x,y) \in \IR^2 : f(x,y) = 0\}[/mm]. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen, dass die Gleichung [mm]f(x,y) = 0[/mm] in allen Punkten [mm](x,y) \not= 0[/mm] lokal nach x oder y aufgelöst werden kann.
Versuchen Sie (z.B. mit Hilfe der lokalen Auflösungen) so viel über die Menge M herauszubekommen, das Sie sie skizzieren können. Ist M eine Untermannigfaltigkeit? |
Wenn ich den Satz über implizite Funktionen richtig verstehe, so muss ich nun die quadratische Teilmatrix der Jacobi-Matrix bestimmen, die die partiellen Ableitungen der Funktion nach der y-Variablen enthalten.
Da wir uns allerdings im [mm]\IR^2[/mm] befinden, erhalte ich eine 1x1-"Matrix" mit dem Eintrag:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x_0 , y_0 ) = -32y[/mm]
Wenn diese "Matrix" invertierbar ist im Punkt [mm](x_0 , y_0 )[/mm], so existieren offene Umgebungen U von [mm]x_0[/mm] und V von [mm]y_0[/mm] und eine eindeutige stetig differenzierbare Abbildung [mm]y: U \subset \IR^2 \to V \subset \IR^2[/mm] mit [mm]y(x_0) = y_0[/mm] , so dass [mm]f(x,y(x)) = 0[/mm] für alle [mm]x \in U_0.[/mm]
Die oben errechnete Matrix ist invertierbar für y [mm] \not= [/mm] 0 mit Inverser Matrix [mm](\bruch{1}{-32y})[/mm]
Damit habe ich die Umkehrbarkeit gezeigt, allerdings weniger scharf als gefordert. Gefordert ist Umkehrbarkeit für alle (x,y) ungleich 0, bei mir bisher nur Umkehrbarkeit für alle (x,y) ungleich (x,0).
Wo ist der (Denk-)Fehler?
Zum zweiten Teil: Hier reicht doch, zu zeigen, dass M eine nicht-leere, offene Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] ist, oder?
Vorausgesetzt natürlich, ich finde genügend Informationen...
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Hallo MaRaQ,
> Sei [mm]f(x,y) = x^5 + 5x^4 - 16y^2[/mm] , [mm]M = \{(x,y) \in \IR^2 : f(x,y) = 0\}[/mm].
> Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen,
> dass die Gleichung [mm]f(x,y) = 0[/mm] in allen Punkten [mm](x,y) \not= 0[/mm]
> lokal nach x oder y aufgelöst werden kann.
> Versuchen Sie (z.B. mit Hilfe der lokalen Auflösungen) so
> viel über die Menge M herauszubekommen, das Sie sie
> skizzieren können. Ist M eine Untermannigfaltigkeit?
> Wenn ich den Satz über implizite Funktionen richtig
> verstehe, so muss ich nun die quadratische Teilmatrix der
> Jacobi-Matrix bestimmen, die die partiellen Ableitungen der
> Funktion nach der y-Variablen enthalten.
> Da wir uns allerdings im [mm]\IR^2[/mm] befinden, erhalte ich eine
> 1x1-"Matrix" mit dem Eintrag:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x_0 , y_0 ) = -32y[/mm]
> Wenn
> diese "Matrix" invertierbar ist im Punkt [mm](x_0 , y_0 )[/mm], so
> existieren offene Umgebungen U von [mm]x_0[/mm] und V von [mm]y_0[/mm] und
> eine eindeutige stetig differenzierbare Abbildung [mm]y: U \subset \IR^2 \to V \subset \IR^2[/mm]
> mit [mm]y(x_0) = y_0[/mm] , so dass [mm]f(x,y(x)) = 0[/mm] für alle [mm]x \in U_0.[/mm]
>
> Die oben errechnete Matrix ist invertierbar für y [mm]\not=[/mm] 0
> mit Inverser Matrix [mm](\bruch{1}{-32y})[/mm]
>
> Damit habe ich die Umkehrbarkeit gezeigt, allerdings
> weniger scharf als gefordert. Gefordert ist Umkehrbarkeit
> für alle (x,y) ungleich 0, bei mir bisher nur Umkehrbarkeit
> für alle (x,y) ungleich (x,0).
>
> Wo ist der (Denk-)Fehler?
>
Vor ein paar Tagen gab es hier diese Aufgabe schon einmal.
> Zum zweiten Teil: Hier reicht doch, zu zeigen, dass M eine
> nicht-leere, offene Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] ist, oder?
> Vorausgesetzt natürlich, ich finde genügend
> Informationen...
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Di 23.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Danke, der andere Beitrag war sehr hilfreich. Irgendwie scheint dieser Denkfehler in der Vorlesung "hausgemacht" zu sein, wenn ich diese doch sehr kleine Stichprobe mal verallgemeinern darf. 
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