Satz (rationale Nullstellen) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] f=a_{0}+a_{1}X+...+a_{n}X^n\in \IZ[X] [/mm] ein Polynom vom Grad n und sei [mm] \bruch{p}{q} [/mm] eine rationale Nullstelle von [mm] f(p,q\in \IZ [/mm] teilerfremd, q [mm] \not= [/mm] 0). Dann ist p ein Teiler von [mm] a_{0} [/mm] und q ein Teiler von [mm] a_{n} [/mm] |
Hallo
Also ich hab mal so angefangen:
Man kann [mm] x_{0}=\bruch{p}{q} \in \IQ [/mm] als einen gekürzten Bruch mit p,q [mm] \in \IZ [/mm] schreiben.
Setze nun [mm] x_{0} [/mm] in f ein
[mm] =>a_{0}+a_{1}*x_{0}+...+a_{n}x_{o}^n=0
[/mm]
Multipliziere mit [mm] q^n
[/mm]
=> [mm] a_{0}*q^n+a_{1}*p*q^{n-1}+...+a_{n}*p^n
[/mm]
Soweit so gut. Wenn folgendes gelten würde, dann folgt daraus die Behauptung
=>p Teiler von [mm] a_{0}*q^n [/mm] und q Teiler von [mm] a_{n}*p^n
[/mm]
Denn da p,q teilerfremd sind, würde daraus direkt folgen, dass p Teiler von [mm] a_{0} [/mm] und q Teiler von [mm] a_{n}
[/mm]
Nur mir ist nicht klar, warum "p Teiler von [mm] a_{0} [/mm] * [mm] q^n [/mm] und q Teiler von [mm] a_{n} [/mm] * [mm] p^n" [/mm] aus der Gleichung folden soll.
Also p Teiler von [mm] a_{0}*q^n [/mm] bedeutet ja, dass es ein d [mm] \in \IZ [/mm] gibt, sodass [mm] p*d=a_{0}*q^n, [/mm] jedoch seh ich grad kein d, dass die Gleichung erfüllt oder muss ich hier argumentativ vorgehen?
Vielen Dank schonmal für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 So 11.12.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei [mm]f=a_{0}+a_{1}X+...+a_{n}X^n\in \IZ[X][/mm] ein Polynom vom
> Grad n und sei [mm]\bruch{p}{q}[/mm] eine rationale Nullstelle von
> [mm]f(p,q\in \IZ[/mm] teilerfremd, q [mm]\not=[/mm] 0). Dann ist p ein Teiler
> von [mm]a_{0}[/mm] und q ein Teiler von [mm]a_{n}[/mm]
> Hallo
> Also ich hab mal so angefangen:
> Man kann [mm]x_{0}=\bruch{p}{q} \in \IQ[/mm] als einen gekürzten
> Bruch mit p,q [mm]\in \IZ[/mm] schreiben.
> Setze nun [mm]x_{0}[/mm] in f ein
> [mm]=>a_{0}+a_{1}*x_{0}+...+a_{n}x_{o}^n=0[/mm]
> Multipliziere mit [mm]q^n[/mm]
> => [mm]a_{0}*q^n+a_{1}*p*q^{n-1}+...+a_{n}*p^n = 0[/mm]
Stelle diese Gleichung einfach um:
[mm] $-a_{0}*q^n [/mm] = [mm] +a_{1}*p*q^{n-1}+...+a_{n}*p^n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow -a_0 q^n [/mm] = [mm] p(a_{1}*q^{n-1}+...+a_{n}*p^{n-1})$
[/mm]
Da die rechte Seite durch p teilbar ist, muss es die linke Seite auch sein. [mm] $q^n$ [/mm] kann nicht durch [mm] $p\;$ [/mm] teilbar sein nach Voraussetzung, also muss es [mm] $a_0$ [/mm] sein.
Analog für [mm] $p|a_n$. [/mm] Stelle obige Gleichung folgendermaßen um:
[mm] $a_{0}*q^n+a_{1}*p*q^{n-1}+...+a_{n-1}*p^{n-1}*q=-a_{n}*p^n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow q(a_{0}*q^{n-1}+a_{1}*p*q^{n-2}+...+a_{n-1}*p^{n-1})=-a_n*p^n$
[/mm]
Da die linke Seite durch [mm] $q\:$ [/mm] teilbar ist, muss es auch die rechte sein, also gilt [mm] $q|a_n$.
[/mm]
LG Lippel
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Vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe.
Gruß
TheBozz-mismo
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