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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:26 Mo 03.09.2007 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert der 5. Ableitung der Funktion
[mm] f(x)=\bruch{x}{\wurzel[4]{1-4x}} [/mm] an der Stelle x=0 |
Hallo Ihr,
ich weiss wir hatten in der Vorlesung einen Satz der irgendwas mit Reihen oder so zu tun hatte, der über das Problem eine Aussage macht.
Leider kann ich in meinen Unterlagen nichts finden.
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für eure hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:42 Mo 03.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo anna
Das Ausrechnen der 5ten Ableitung hat nichts mit nem Satz zu tun! Du musst sie einfach ausrechnen! und dann 0 einsetzen.
Gruss leduart
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Ich bin mir ziemlich sicher das der Prof. gesagt hat wir sollen nicht ableiten, sondern uns an einen Satz erinnern sollen. Ich kann mich auch noch dunkel erinnern. Der ging irgendwie " Die x-te Ableitung an der Stelle y ist gleich ..." und ich meine das hätte was mit Reihen zu tun.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mo 03.09.2007 | | Autor: | anna_h |
dito
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Hallo,
es wird wohl der Satz v. Leibniz gemeint sein:
[mm] $\displaystyle (g\cdot f)^{(m)}(x_{0})=\sum _{k=0}^{m}\binom{m}{k}g^{(k)}(x_{0})f^{(m-k)}(x_{0}).$
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 03.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Also setze ich f(x)=x und [mm] g(x)=\bruch{1}{\wurzel[4]{1-4x}}.
[/mm]
und setze einfach ein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ! Dabei würde ich hier noch umformen zu:
$$g(x) \ = \ [mm] \wurzel[4]{1-4*x} [/mm] \ = \ [mm] \left(1-4*x\right)^{\bruch{1}{4}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Do 06.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Na ihr,
habe im Skript [mm] a_{n}=\bruch{f^{n}(0)}{n!} [/mm] gefunden.
daraus folgt [mm] f(x)=x+x^{2}+2,5x^{3}+7,5x^{4}+24,375x^{5}
[/mm]
[mm] f^{(5)}(0)=a_{5}*5!=2925
[/mm]
Kann das jemand so bestätigen?
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> Na ihr,
> habe im Skript [mm]a_{n}=\bruch{f^{n}(0)}{n!}[/mm] gefunden.
Hallo,
in Skripten findet man immer so viel.
Was soll [mm] a_n [/mm] für eine Folge sein, was für einen Satz hast Du gefunden? Worum geht's?
> daraus folgt [mm]f(x)=x+x^{2}+2,5x^{3}+7,5x^{4}+24,375x^{5}[/mm]
Da Du den Satz nicht sagst, weiß ich nicht, wie das folgt.
>
> [mm]f^{(5)}(0)=a_{5}*5!=2925[/mm]
>
>
> Kann das jemand so bestätigen?
Ich habe für die 5. Ableitung etwas anderes errechnet, will allerdings nicht ausschließen, daß ich mich VERrechnet habe.
Hast Du's denn Dein Ergebnis mal mit dem Satz von Leibniz nachgerechnet?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Do 06.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Ich habe (hoffe ich) die Funktion in eine Potenzreihe umgewandelt. Dann sagt doch der Satz ( Name kenne ich nicht): Der wert der 5. Ableitung der Funktion an der Stelle Null ist gleich 5! mal dem 5. Glied der Potenzreihe.
Nach Leibnitz kann ich es auch noch mal ausrechnen.
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> Ich habe (hoffe ich) die Funktion in eine Potenzreihe
> umgewandelt.
Hallo,
aber um die Taylorreihe aufzustellen, mußtest Du doch doch die n-te Ableitung schon kennen.(?)
Wie hast Du das gemacht? Was hast Du verwendet?
Gruß v. Angela
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> Na ihr,
> habe im Skript [mm]a_{n}=\bruch{f^{n}(0)}{n!}[/mm] gefunden.
> daraus folgt [mm]f(x)=x+x^{2}+2,5x^{3}+7,5x^{4}+24,375x^{5}[/mm]
Es war doch [mm] $f(x)=\frac{x}{\sqrt[4]{1-4x}}$. [/mm] Dann ist völlig ausgeschlossen, dass dieses $f(x)$ gleich dem obigen Polynom ist.
Um sich das wiederholte Ableiten zu ersparen, könnte man die Funktion für $|4x|<1$ allerdings in eine Taylorreihe entwickeln (aber dies dürfte vermutlich nicht im Rahmen eures Stoffplanes liegen):
[mm]f(x)=\frac{x}{\sqrt[4]{1-4x}}=x\cdot\sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac{1}{4}}{n}(-4x)^n=\sum_{n=1}^\infty (-4)^{n-1}\binom{-\frac{1}{4}}{n-1}x^n=: \sum_{n=1}^\infty a_n x^n [/mm]
Für diese [mm] $a_n [/mm] := [mm] (-4)^{n-1}\binom{-\frac{1}{4}}{n-1}$ [/mm] gilt in der Tat, dass [mm] $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ [/mm] ist.
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> [mm]f^{(5)}(0)=a_{5}*5!=2925[/mm]
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>
> Kann das jemand so bestätigen?
Dieses Ergebnis scheint richtig zu sein, denn gemäss obenstehender Entwicklung von $f(x)$ in eine Taylorreihe ist [mm] $a_5=\frac{195}{8}$, [/mm] woraus tatsächlich [mm] $f^{(5)}(0)=5!\cdot\frac{195}{8}=2925$ [/mm] folgt.
Aber Deine Erklärung, wie Du auf dieses Ergebnis gekommen bist, kann ich nicht nachvollziehen.
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