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| Aufgabe | Was gilt für die folgende Funktion: f(x,y)=3xy-x³-y³
a) hat ein lokales Maximun und einen Sattelpukt
b) hat ein lok min und einen SP
c) hat zwei SP
d)hat ein lok max und ein lok min |
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = 3y-3x²
[mm] \bruch{\partial² f}{\partial x²} [/mm] = -6x
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = 3x-3y²
[mm] \bruch{\partial² f}{\partial y²} [/mm] = -6y
[mm] \bruch{\partial² f}{\partial y \partial x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial² f}{\partial x \partial y} [/mm] = 0
Hesse Matrix: [mm] \pmat{ -6x & 0 \\ 0 & -6y }
[/mm]
Bis dahin ist hoffentlich alles in Ordnung.
Der Gradient wird soweit ich das sehe nur für die Punkte (0,0) und (1,1) null. Es handelt sich also um kritische Punkte.
Muss ich die jetzt in die Hesse-Matrix einsetzen um ihre Definitheit zu prüfen?
Falls ja kommen da für mich ziemlich verwirrende Ergebnisse raus.
Für (0,0) ist die Hesse Matrix eine 2x2 Nullmatrix , die quadratische Form einfach 0 und als Eigenwert bekomme ich [mm] (-\lambda)². [/mm] Damit c) rauskommt deute ich das einfach mal als Zeichen für indefinitheit...
Bei (1,1) wird die Hesse zu [mm] \pmat{ -6 & 0 \\ 0 & -6 } [/mm] und ich erhalte das quad Polynom [mm] (-6-\lambda)² [/mm] welches für -6 0 wird und daher bedeutet dass diese Hesse Matrix nicht indefinit ist also auch kein SP vorliegt.
Wo läufts schief?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nur ein kleiner Rechenfehler. In der Matrix müssen 3en statt 0en stehen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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