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| Aufgabe | | Kurvendiskussion... |
Wie kann man in einer Kurvendiskussion überprüfen, ob ein Extrempunkt (wo ja die Steigung = 0 ist) ein Sattelpunkt ist?
Mein Ansatz man könnte ja ganz primitiv durch das Vorzeichenkriterium ermitteln, ob die Steigung beispielsweise vom Negativen ins Positive (Extremstelle) oder vom Negativen wieder ins negative (Sattelstelle) übergeht.
Ich würde gerne wissen, ob es auch eine bessere Möglichkeit gibt, dies zu errechnen...
Noch 'ne Kleinigkeit: Ist ein "relativer Hochpunkt" das selbe wie ein "Hochpunkt", oder wird da noch zusätzlich differenziert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 So 22.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Kurvendiskussion...
> Wie kann man in einer Kurvendiskussion überprüfen, ob ein
> Extrempunkt (wo ja die Steigung = 0 ist) ein Sattelpunkt
> ist?
>
> Mein Ansatz man könnte ja ganz primitiv durch das
> Vorzeichenkriterium ermitteln, ob die Steigung
> beispielsweise vom Negativen ins Positive (Extremstelle)
> oder vom Negativen wieder ins negative (Sattelstelle)
> übergeht.
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> Ich würde gerne wissen, ob es auch eine bessere Möglichkeit
> gibt, dies zu errechnen...
Ja, gibt es.
Ein Sattelpunkt an der Stelle [mm] x_{s} [/mm] ist ja ein spezieller Wendepunkt.
Also ist die Notwendige Bedingung: [mm] f''(x_{s})=0 [/mm] und die hinreichende Bedingung [mm] f'''(x_{s})\not=0, [/mm] soweit zum "normalen" Wendepunkt.
Jetzt ist dieser Sattelpunkt ja ein Besonderer Wendepunkt, und zwar hat er eine waagerechte Tangente, es gilt also zusätzlich [mm] f\red{'}(x_{s})=0.
[/mm]
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> Noch 'ne Kleinigkeit: Ist ein "relativer Hochpunkt" das
> selbe wie ein "Hochpunkt", oder wird da noch zusätzlich
> differenziert?
Ein relativer Hochpunkt ist zumindest in den miesten Fällen dasselbe wie ein Hochpunkt.
Der einzige Unterschied ist, dass die Funktion "weit neben" dem Punkt noch höhere Funkktionswerte annehmen kann.
Beispiel:
f(x)=x³-3x hat in (-1/2) einen (relativen) Hochpunkt. Aber das heisst nicht, dass die Funktion das absolute Maximum 2 hat, da f(x)>2 für alle x>2. Aber in der Umgebung von -1 ist 2 das Maximum.
Dasselbe gilt übrigens auch für Tiefpunkte.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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Vielen Dank,
echt sehr übersichtlich erklärt. Bringt mich auf jeden Fall weiter!
DoktorQuagga!
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