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| Aufgabe | Bestimme eine SVD und die Pseudo-Inverse der Matrix
m= [mm] \bruch{1}{7\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \pmat{7 & 14 & 0 \\ 1 & 10 & 12} [/mm] |
also ich hab jetzt [mm] M^t*M [/mm] gerechnet, was dann folgende Matrix ergab:
[mm] \bruch{2}{49} [/mm] * [mm] \pmat{50 & 108 & 12 \\ 108 & 296 & 120 \\ 12 & 120 & 144}
[/mm]
habe dann versucht die EW auszurechen und habe als EW folgende raus:
[mm] EW_1:0
[/mm]
[mm] EW_2: \bruch{38,65}{49}
[/mm]
[mm] EW_3: \bruch{941,31}{49}
[/mm]
und ich bin mir nicht sicher ob die hier richtig sind;
kann mir jemand sagen ob die ergebnisse so richtig sind?
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> Bestimme eine SVD und die Pseudo-Inverse der Matrix
> m= [mm]\bruch{1}{7\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\pmat{7 & 14 & 0 \\ 1 & 10 & 12}[/mm]
>
> also ich hab jetzt [mm]M^t*M[/mm] gerechnet, was dann folgende
> Matrix ergab:
> [mm]\bruch{2}{49}[/mm] * [mm]\pmat{50 & 108 & 12 \\ 108 & 296 & 120 \\ 12 & 120 & 144}[/mm]
Der Vorfaktor ist falsch. Er sollte [mm] \frac{1}{2*49}=\frac{1}{98} [/mm] sein.
> habe dann versucht die EW auszurechen und habe als EW
> folgende raus:
>
> [mm]EW_1:0[/mm]
> [mm]EW_2: \bruch{38,65}{49}[/mm]
> [mm]EW_3: \bruch{941,31}{49}[/mm]
> und ich
> bin mir nicht sicher ob die hier richtig sind;
> kann mir jemand sagen ob die ergebnisse so richtig sind?
Nach meiner Rechnung mit Mathematica hat [mm] M^T*M
[/mm]
die Eigenwerte 4,1 und 0 .
Das klingt doch ziemlich gut...
LG Al-Chw.
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danke dafür; ich habe die eigenwerte, die singulärwerte und die eigenvektoren;
meine EV: zu 0: [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ -\bruch{2}{3}}
[/mm]
zu 1: [mm] \vektor{\bruch{3}{2} \\ 1 \\-3}
[/mm]
zu 4: [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ \bruch{3}{2}}
[/mm]
die sind orthogonal zueinander;
stimmt des bis hierher?
also hab ich [mm] V=\pmat{1 & \bruch{3}{2} & -2 \\ 3 & 1 & 1 \\ \bruch{3}{2} & -3 & -\bruch{2}{3}}
[/mm]
die habe ich dann mit der anfangsmatrix multipliziert und das ist das ergebnis
[mm] \bruch{1}{7\wurzel{2}}*\pmat{49 & 24,5 & 0 \\ 50 & -24,5 & 0}
[/mm]
ist das bis hierher richtig?
jetzt brauche ich noch für die zerlegung die matrix U, weiß aber jetzt nicht mehr, wie ich die errechnen kann;
wie komm ich auf die letzte Matrix?
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Hallo chrissi2709,
> danke dafür; ich habe die eigenwerte, die singulärwerte
> und die eigenvektoren;
> meine EV: zu 0: [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ -\bruch{2}{3}}[/mm]
>
> zu 1: [mm]\vektor{\bruch{3}{2} \\ 1 \\-3}[/mm]
> zu 4:
> [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ \bruch{3}{2}}[/mm]
> die sind orthogonal
> zueinander;
> stimmt des bis hierher?
>
> also hab ich [mm]V=\pmat{1 & \bruch{3}{2} & -2 \\ 3 & 1 & 1 \\ \bruch{3}{2} & -3 & -\bruch{2}{3}}[/mm]
>
> die habe ich dann mit der anfangsmatrix multipliziert und
> das ist das ergebnis
> [mm]\bruch{1}{7\wurzel{2}}*\pmat{49 & 24,5 & 0 \\ 50 & -24,5 & 0}[/mm]
Das muß hier doch so lauten:
[mm]\bruch{1}{7\wurzel{2}}*\pmat{49 & 24,5 & 0 \\ \red{49} & -24,5 & 0}[/mm]
>
> ist das bis hierher richtig?
> jetzt brauche ich noch für die zerlegung die matrix U,
> weiß aber jetzt nicht mehr, wie ich die errechnen kann;
> wie komm ich auf die letzte Matrix?
Hier kannst Du so Vorgehen, wie ![[]](/images/popup.gif) hier beschrieben ist.
Gruss
MathePower
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danke dafür, ja hab mich da verrechnet;
aber der link zeigt mir, dass ich auf die seite nicht zugreifen kann; was heißt, damit kann ich nicht wirklich was anfangen; hast du viell noch nen anderen link?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Sa 12.09.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo chrissy2709,
> danke dafür, ja hab mich da verrechnet;
>
> aber der link zeigt mir, dass ich auf die seite nicht
> zugreifen kann; was heißt, damit kann ich nicht wirklich
> was anfangen; hast du viell noch nen anderen link?
Nun, der Link lautet so:
Singulärwert-Zerlegung
( http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs48/seite32.html )
Gruss
MathePower
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danke für den link; aber ich versteh einen schritt in dem beispiel nicht;
wie komme ich von der identität von
A*V [mm] =\bruch{1}{\wurzel{2}}*\pmat{1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 4 & 0}=(3u_1,u_2)
[/mm]
woher weiß ich dass ich [mm] u_1 [/mm] 3 mal habe und [mm] u_2 [/mm] nur einmal?
und wie komme ich dann auf [mm] u_1 =\bruch{1}{3*\wurzel{2}}*\pmat{1\\1\\4}?
[/mm]
fg
chrissi
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Hallo chrissi2709,
> danke für den link; aber ich versteh einen schritt in dem
> beispiel nicht;
> wie komme ich von der identität von
> A*V [mm]=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\pmat{1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 4 & 0}=(3u_1,u_2)[/mm]
>
> woher weiß ich dass ich [mm]u_1[/mm] 3 mal habe und [mm]u_2[/mm] nur
> einmal?
> und wie komme ich dann auf [mm]u_1 =\bruch{1}{3*\wurzel{2}}*\pmat{1\\1\\4}?[/mm]
Sieh Dir dazu im Link den vorhergehenden Abschnitt, der mit "Durch Diagonalisierung der hermiteschen Matrix" beginnt an, dort wird das erläutert.
Gruss
MathePower
>
> fg
>
> chrissi
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Für die Matrix U habe ich die allgemeine Form
[mm] u_i=\bruch{1}{\wurzel{\lambda_i}}*A*v_i [/mm] gefunden;
wobei [mm] v_i [/mm] die normierten Eigenvektoren sind;
hier habe ich aber auch einmal den EV = 0, d.h. ich müsste durch null teilen, was ja nicht geht;
für [mm] u_1 [/mm] wäre mein ergebnis [mm] \bruch{1}{7\wurzel{2}} *\pmat{24,5 \\ 24,5}
[/mm]
für [mm] u_2 [/mm] wäre mein ergebnis [mm] \bruch{1}{7\wurzel{2}}*\pmat{24,5 \\ -24,5}
[/mm]
für [mm] u_3 [/mm] wäre mein ergebnis [mm] \pmat{0 \\ 0}, [/mm] wenn ich [mm] \bruch{1}{0} [/mm] vernachlässige; darf ich das und ist das dann so richtig?
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Hallo chrissi2709,
> Für die Matrix U habe ich die allgemeine Form
> [mm]u_i=\bruch{1}{\wurzel{\lambda_i}}*A*v_i[/mm] gefunden;
> wobei [mm]v_i[/mm] die normierten Eigenvektoren sind;
> hier habe ich aber auch einmal den EV = 0, d.h. ich
> müsste durch null teilen, was ja nicht geht;
> für [mm]u_1[/mm] wäre mein ergebnis [mm]\bruch{1}{7\wurzel{2}} *\pmat{24,5 \\ 24,5}[/mm]
>
> für [mm]u_2[/mm] wäre mein ergebnis
> [mm]\bruch{1}{7\wurzel{2}}*\pmat{24,5 \\ -24,5}[/mm]
> für [mm]u_3[/mm] wäre
> mein ergebnis [mm]\pmat{0 \\ 0},[/mm] wenn ich [mm]\bruch{1}{0}[/mm]
> vernachlässige; darf ich das und ist das dann so richtig?
[mm]u_{1}[/mm] und [mm]u_{2}[/mm] sind richtig.
Diese bilden dann auch die gesuchte Matrix.
Ich habe mal auf einer Webseite gesehen, bei der ein anderes Verfahren angewendet wird.
Dort sind die Eigenwerte der Matrix [mm]M*M^{t}[/mm] berechnet worden.
Leider finde ich diese Webseite nicht mehr.
Gruss
MathePower
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danke für die antwort; heißt das, dass meine letzte matrix dann
U= [mm] \bruch{1}{7\wurzel{2}}\pmat{24,5 & 24,5 \\ 24,5 & -24,5}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 So 13.09.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo chrissi2709.
> danke für die antwort; heißt das, dass meine letzte
> matrix dann
> U= [mm]\bruch{1}{7\wurzel{2}}\pmat{24,5 & 24,5 \\ 24,5 & -24,5}[/mm]
>
Nicht ganz, wenn Du die Spalten jetzt noch normierst,
dann ist das dann die Matrix U.
Jetzt habe ich den Link gefunden, der das mit den Eigenwerten beschreibt:
Konstruktion der Zerlegung
Gruss
MathePower
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danke für die antwort;
ich hab da noch ne frage;
die SVD hat ja die allg. Form
A= [mm] USV^t
[/mm]
S ist ja die Matrix mit den Singulärwerten auf der Diagonalen. Ist aber eine nxm-Matrix, wie die Anfangsmatrix. Ich hab aber drei Eigenwerte und somit auch drei Singulärwerte. So kann ich aber auf keine 3x2 Matrix kommen.
Hab ich da jetzt einen Denkfehler drin oder muss die Matrix gar nicht die Form der Anfangsmatrix haben?
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Hallo chrissi2709,
> danke für die antwort;
> ich hab da noch ne frage;
> die SVD hat ja die allg. Form
> A= [mm]USV^t[/mm]
> S ist ja die Matrix mit den Singulärwerten auf der
> Diagonalen. Ist aber eine nxm-Matrix, wie die
> Anfangsmatrix. Ich hab aber drei Eigenwerte und somit auch
> drei Singulärwerte. So kann ich aber auf keine 3x2 Matrix
> kommen.
> Hab ich da jetzt einen Denkfehler drin oder muss die Matrix
> gar nicht die Form der Anfangsmatrix haben?
Da die Matrizen U und [mm]V^{t}[/mm] bekannt sind,
kannst Du somit auch S berechnen.
Nach dem Link ist S eine Diagonalmatrix
mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
Gruss
MathePower
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