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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Hokes |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um die Rückwärtsstabilität eines Algorithmus.
(Def. der "backward stability" in meinem Skript:
Ein Algorithmus [mm] \overline{f}:X \to [/mm] Y für ein Problem f:X [mm] \to [/mm] Y heißt rückwärtsstabil auf D [mm] \subseteq [/mm] X, wenn es eine Konstante [mm] C_{b} [/mm] ("b" steht einfach nur für "backward stable") von moderater Größe gibt, so dass für alle x [mm] \in [/mm] D, [mm] \overline{f}(x) [/mm] = [mm] f(\overline{x}) [/mm] für ein [mm] \overline{x} [/mm] mit [mm] \bruch{\parallel \overline{x}-x \parallel}{\parallel x \parallel} \le C_{b}*eps [/mm] (eps=Maschinenepsilon).)
Mir ist klar, wie man bei z.B. so einfache Sachen wie der Addition zweier Gleitkommazahlen (floating point numbers) oder der Multiplikation zweier Gleitkommazahlen die Rückwärtsstabilität nachweist.
(Also z.B. [mm] \overline{f}(x,y)=fl(x)\oplus [/mm] fl(y) = [mm] (x(1+\varepsilon_{1})+y(1+\varepsilon_{2}))*(1+\varepsilon_{3}) [/mm]
[mm] \approx x(1+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3})+y(1+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}) [/mm] =: [mm] \overline{x}+\overline{y} [/mm] = [mm] f(\overline{x},\overline{y}). [/mm] Also: [mm] \overline{f} [/mm] ist rückwärtsstabil.)
MEIN PROBLEM IST NUN DIE FOLGENDE AUSSAGE:
Wenn [mm] f:\IR \to \IR [/mm] differenzierbar ist und f' bei [mm] x_{0} [/mm] Null ist, dann kann ein Algorithmus für f nicht rückwärtsstabil sein nahe [mm] x_{0}. [/mm] (Kleine Störungen in [mm] f(x_{0}) [/mm] führen also zu großen Veränderungen bei [mm] x_{0}.) [/mm] (Also z. B. für f(x)=cos(x) bei [mm] x_{0}=0.)
[/mm]
WIESO KANN MAN DAS BEHAUPTEN?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Hokes,
in deinen Skizzen ist der Sachverhalt meiner Meinung
nach sehr gut dargestellt. In der ersten Skizze verlaufen
die beiden Funktionen f und [mm] \bar{f} [/mm] in der Nähe der interes-
sierenden Stelle ungefähr parallel mit einer gewissen
positiven Steigung m. Die kleinen Verschiebungen in
waagrechter und senkrechter Richtung sind deshalb
ungefähr proportional zueinander, mit einem Faktor,
der ungefähr der Steigung m entspricht. Ist also die
vertikale Verschiebung klein, so wird auch die horizontale
klein sein. Dieser Zusammenhang ist aber bei kleinen
Werten von |m| nicht mehr gut gewährleistet, und in
der Nähe von Stellen mit f'(x)=0 überhaupt nicht mehr.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Hokes |
Danke für deine Hilfe.
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