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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie bestimme ich das Rotationsvolumen dieser Funktion: [mm] (t^2+2)/(2*t) [/mm] in den Grenzen von 0 bis [mm] \pi/(2*t) [/mm] |
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mi 28.03.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Wir sehen es hier gerne, wenn die Person nicht nur nach der Lösung fragt, sondern selbst Ansätze/Vermutungen/mögliche Lösungen aufzeigt oder genau das Problem schildert, warum man die Aufgabe nicht Lösen kann.
Beim Rotationsvolumen einer Funktion f(x) gilt folgende Formel:
[mm] V=\pi*\integral_{untere Grenze}^{obere Grenze} (f(x))^2\, [/mm] dx
Vielleicht versuchst du es nun mal und wir könnten dann dein Ergebnis überprüfen
Viel Erfolg!
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wenn ich das partiell mach komm ich auf folgendes:
es gilt t>0
[mm] V=\pi/4*(-1/2*[(t^2+2)^2*1/t](die [/mm] grenzen hier sind 0 und [mm] \pi/(2*t))+2*\integral_{0}^{\pi/(2*t)} (t^2+2)\, [/mm] dt)
Weiß nicht wie man das besser schreibt mit den grenzen... sorry
Ich bekomme also ein Problem beim Einsetzen der Grenze 0, da 1/o doch nicht definiert ist
Vorgegeben ist jedoch, das Rotationsvolumen, dass die Funktion [mm] (t^2+2)/(2*t) [/mm] mit der x- Achse und mt der y- Achse bldet, zu berechnen.
Wie kann ich das denn machen, wenn ich nicht 0 als untere Grenze einsetzen darf?
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Hallo musicandi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du kommst hier auch ohne partielle Integration aus, wenn Du zunächst umformst:
[mm] $\bruch{t^2+2}{2*t} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t^2}{2*t}+\bruch{2}{2*t} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*t+t^{-1}$
[/mm]
Nun diesen Term quadrieren und integrieren.
Für die untere Grenze [mm] $t_u [/mm] \ = \ 0$ musst Du dieses sogenannte uneigentliche Integral einer Grenzwertbetrachtung unterziehen:
[mm] $\integral_{0}{f(t) \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow 0}\integral_{A}{f(t) \ dt} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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Danke für den netten Willkommensgruß!! 
ich bekomm trotzdem ein Problem...
[mm] V=\pi*\integral_{a}^{\pi/(2*t)} 1/4*t^2+t^-2+1, [/mm] dx = [mm] [1/12*t^3-1/t+t] [/mm] (Grenzen von a bis [mm] \pi/(2*t) [/mm] )
[mm] =1/96*\pi^3/t^3-2*t/\pi+\pi/(2*t)-1/12*a^3+1/a-a
[/mm]
[mm] \lim_{a \to 0}\pi*\integral_{a}^{\pi/(2*t)} 1/4*t^2+t^-2+1, [/mm] dx = [mm] 1/96*\pi^3/t^3-2*t/\pi+\pi/(2*t)-1/12*0^3+1/0-0
[/mm]
Hier habe ich wieder einen Term 1/a der gegen [mm] \infty [/mm] geht, aber wie kann denn meine Fläche dann auch [mm] \infty [/mm] sein?
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Sry.. meinte nicht die Fläche sondern das Volumen der rotierenden Fläche. Ist das richtig dass das Volumen dann uneindlich wird?
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Vllt ist mein Problem so am klarsten ausgedrückt:
aber wenn die fläche [mm] (t^2+2)/(2*t) [/mm] für t->o gegen unendlich geht, wieso geht dann das volumen für ein allg. t auch gegen unendlich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mi 28.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich kanns auch nur versuchen, aber bevor dein post so langsam in die Schiene der Vergessenheit gerät, ist ein kleiner Rat von mir evtl. besser.
Also dann....
Roadrunner hat ja schon folgendes gesagt:
[mm] \bruch{t^2+2}{2\cdot{}t}=\bruch{t^2}{2\cdot{}t}+\bruch{2}{2\cdot{}t}= \bruch{1}{2}\cdot{}t+t^{-1} [/mm]
Desweiteren:
[mm] V=\pi\cdot{}\integral_{untere Grenze}^{obere Grenze} (f(x))^2\
[/mm]
Also habe ich das auch erst einmal so gemacht:
[mm] \pi\cdot{}\integral_{untere Grenze}^{obere Grenze} (\bruch{1}{2}*t+\bruch{1}{t})^2=\pi\cdot{}\integral_{untere Grenze}^{obere Grenze} (\bruch{1}{4}*t^2+2*\bruch{1}{2}*t*\bruch{1}{t}+\bruch{1}{t^2})=\pi*[\bruch{1}{12}*t^3+t-\bruch{1}{t}]
[/mm]
[mm] V=\pi*\integral_{a}^{\pi/(2*t)}= (\bruch{1}{4}*t^2+2*\bruch{1}{2}*t*\bruch{1}{t}+\bruch{1}{t^2})=\pi*[\bruch{1}{12}*(\bruch{\pi}{2t})^3+\bruch{\pi}{2t}-\bruch{2t}{\pi}]-(\pi*[\bruch{1}{12}*a^3+a-\bruch{1}{a}])
[/mm]
[mm] =\pi*[\bruch{1}{12}*(\bruch{\pi}{2t})^3+\bruch{\pi}{2t}-\bruch{2t}{\pi}]-(\pi*\bruch{1}{12}*a^3+\pi*a-\pi*\bruch{1}{a}) [/mm] Das - (Minus) beachten und aufpassen, der "2.Teil" befindet sich in Klammern, beim auflösen der Klammer drehen sich die Vorzeichen!
[mm] =\pi*[\bruch{1}{12}*(\bruch{\pi}{2t})^3+\bruch{\pi}{2t}-\bruch{2t}{\pi}]-\pi*\bruch{1}{12}*a^3-\pi*a+\pi*\bruch{1}{a}
[/mm]
> Hier habe ich wieder einen Term 1/a der gegen $ [mm] \infty [/mm] $ geht, aber wie kann denn meine Fläche dann auch $ [mm] \infty [/mm] $ sein?
Also, du weißt schon das der Flächeninhalt gegen "$ [mm] \infty [/mm] $ geht"?
Folgendes wurde auch schon von anderen vorher angedeutet:
[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0 }=\pi*[\bruch{1}{12}*(\bruch{\pi}{2t})^3+(\bruch{\pi}{2t})-\bruch{2t}{\pi}]-\pi*\bruch{1}{12}*a^3-\pi*a+\pi*\bruch{1}{a}=\pi*[\bruch{1}{12}*(\bruch{\pi}{2t})^3+(\bruch{\pi}{2t})-\bruch{2t}{\pi}]+ \limes_{a\rightarrow\ 0 }\pi*\bruch{1}{a}
[/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0 } [/mm] heißt, "a nähert sich 0 an", wird also immer kleiner. Und wenn wir nun nur den letzten Teil betrachten: [mm] \limes_{a\rightarrow\ 0 }\bruch{1}{a} [/mm] = [mm] \infty [/mm] und somit ist das der Flächeninhalt...
Es kann sein, dass kleine Rechenfehler drin sind, aber nach meiner Lösung und deiner ja auch, ist das wichtigste das a; und da dürfte alles stimmen.
Das wäre jetzt meine "Lösung." Wäre cool, wenn du mal Bescheid sagen würdest, ob das stimmt. Interessiert mich nämlich auch
Hoffe natürlich, es ist richtig.
MfG
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Hallo!!
Ja, das hab ich jetzt auch so berechnet. Das einzge was mich wundert ist, dass die Fläche nur für t-->0 unendlich wird, d.h. es gibt Werte für t wo die Fläche genau definert st. Z.B hat sie bei [mm] \wurzel{2} [/mm] ihr absoltes Minimum von auch [mm] \wurzel{2}
[/mm]
So was mich jetzt hier wundert ist, ist dass das Rotationsvolumen für jedes beliebige t unendlich ist. Wie kann denn aber eine Fläche von beispielsweise [mm] \wurzel{2}, [/mm] wenn sie rotiert ein unendliches Volumen bekommem??
Wo hab ich da einen Denkfehler?
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