Rotationskörper um y-Achse < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Dnake |
| Aufgabe | Hallo,
hatte diese Aufgabe zu lösen:
lassen Sie die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] im Intervall [0,a] um die y-achse rotieren.
Wie groß ist das Volumen? |
Hier meine Berechnung
erst Umkehrfunktion, die ist [mm] \wurzel[3]{x}
[/mm]
oder [mm] x^\bruch{1}{3}
[/mm]
Die Formel für den Rotationskörper genommen und Stammfunktion gebildet
Vy= [mm] \pi*|\bruch{3}{4}* x^{\bruch{4}{3}}| [/mm] zwischen a und null (weiss gerade nicht, wie ich das hier darstellen soll...)
Da habe ich dann [mm] \pi\bruch{3}{4}a^{\bruch{4}{3}}
[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob [mm] a^{\bruch{4}{3}} [/mm] = [mm] 4*\wurzel[3]{a}
[/mm]
Wäre schön, denn dann käme [mm] 3*\pi*\wurzel[3]{a} [/mm] heraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mo 04.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Idee ist korrekt.
Aber die Stammfunktion von [mm] g(x)=(f(x)))²=\left(\wurzel[3]{x}\right)^{2}=\wurzel[3]{x²}=x^{\bruch{2}{3}}
[/mm]
ist:
[mm] G(x)=\bruch{x^{\bruch{2}{3}+1}}{\bruch{2}{3}+1}=\bruch{x^{\bruch{5}{3}}}{\bruch{5}{3}}=\bruch{3x^{\bruch{5}{3}}}{5}
[/mm]
Also:
[mm] \pi*\integral_{0}^{a}\left(\wurzel[3]{x}\right)^{2}dx
[/mm]
[mm] =\pi*(G(a)-G(0))
[/mm]
Marius
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