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| Aufgabe | Der Graph der Funktion [mm] f_k [/mm] mit [mm] f_k(x)= k*\wurzel{x} [/mm] - 3x [mm] (x\ge0) [/mm] und die x-Achse begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt 8 Flächeneinheiten vollständig.
Bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht ein Drehkörper. Berechnen Sie dessen Rauminhalt. |
Der erste Teil der Aufgabenstellung sagt ja aus:
[mm] \integral_{a}^{b}{k*\wurzel{x} - 3x dx} [/mm] = 8
richtig?
Die Untergrenze a ist 0 bzw. es ist eine Nullstelle bei (0/0) vorhanden, da, setzt man x auf 0 die gesamte Gleichung null wird.
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich auf die Obergrenze b komme. Auch habe ich keine Idee wie ich nun letztendlich auf k kommen soll.
Um letztendich auf das Volumen des Drehkörpers zu kommen, benötige ich die Formel [mm] \pi*\integral_{0}^{b}{ k*\wurzel{x} - 3x dx}. [/mm] Nur fehlt mir dazu ja b und k.
Kann mir jemand helfen?
Gruß CrazyBlue
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mo 31.10.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Der Graph der Funktion [mm]f_k[/mm] mit [mm]f_k(x)= k*\wurzel{x}[/mm] - 3x
> [mm](x\ge0)[/mm] und die x-Achse begrenzen eine Fläche mit dem
> Inhalt 8 Flächeneinheiten vollständig.
> Bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht ein
> Drehkörper. Berechnen Sie dessen Rauminhalt.
> Der erste Teil der Aufgabenstellung sagt ja aus:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{k*\wurzel{x} - 3x dx}[/mm] = 8
>
> richtig?
>
> Die Untergrenze a ist 0 bzw. es ist eine Nullstelle bei
> (0/0) vorhanden, da, setzt man x auf 0 die gesamte
> Gleichung null wird.
richtig.
>
> Jetzt weiß ich aber nicht wie ich auf die Obergrenze b
> komme. Auch habe ich keine Idee wie ich nun letztendlich
> auf k kommen soll.
Die obere Grenze bekommst Du, indem Du die zweite Nullstelle der Funktion [mm] $f_k(x)$ [/mm] bestimmst.
Wenn Du das hast, kann Du das bestimmte Integral ausrechnen und nach k auflösen.
>
> Um letztendich auf das Volumen des Drehkörpers zu kommen,
> benötige ich die Formel [mm]\pi*\integral_{0}^{b}{ k*\wurzel{x} - 3x dx}.[/mm]
Nein, schlag die Formel nochmal nach.
> Nur fehlt mir dazu ja b und k.
siehe oben.
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> Gruß CrazyBlue
>
Gruß,
notinX
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> Hallo,
>
> > Der Graph der Funktion [mm]f_k[/mm] mit [mm]f_k(x)= k*\wurzel{x}[/mm] - 3x
> > [mm](x\ge0)[/mm] und die x-Achse begrenzen eine Fläche mit dem
> > Inhalt 8 Flächeneinheiten vollständig.
> > Bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht ein
> > Drehkörper. Berechnen Sie dessen Rauminhalt.
> > Der erste Teil der Aufgabenstellung sagt ja aus:
> >
> > [mm]\integral_{a}^{b}{k*\wurzel{x} - 3x dx}[/mm] = 8
> >
> > richtig?
> >
> > Die Untergrenze a ist 0 bzw. es ist eine Nullstelle bei
> > (0/0) vorhanden, da, setzt man x auf 0 die gesamte
> > Gleichung null wird.
>
> richtig.
>
> >
> > Jetzt weiß ich aber nicht wie ich auf die Obergrenze b
> > komme. Auch habe ich keine Idee wie ich nun letztendlich
> > auf k kommen soll.
>
> Die obere Grenze bekommst Du, indem Du die zweite
> Nullstelle der Funktion [mm]f_k(x)[/mm] bestimmst.
> Wenn Du das hast, kann Du das bestimmte Integral
> ausrechnen und nach k auflösen.
>
Mein Problem ist nur, dass ich nicht weiß wie ich die zweite Nullstelle bestimme.
> >
> > Um letztendich auf das Volumen des Drehkörpers zu kommen,
> > benötige ich die Formel [mm]\pi*\integral_{0}^{b}{ k*\wurzel{x} - 3x dx}.[/mm]
>
> Nein, schlag die Formel nochmal nach.
Achso, ich habe das hoch 2 vergessen.^^ Also lautet die Formel dann [mm]\pi*\integral_{0}^{b}{ (k*\wurzel{x} - 3x)^{2} dx}.[/mm]
>
> > Nur fehlt mir dazu ja b und k.
>
> siehe oben.
>
> >
> > Kann mir jemand helfen?
> >
> > Gruß CrazyBlue
> >
>
> Gruß,
>
> notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Di 01.11.2011 | | Autor: | notinX |
> > Hallo,
> >
> > > Der Graph der Funktion [mm]f_k[/mm] mit [mm]f_k(x)= k*\wurzel{x}[/mm] - 3x
> > > [mm](x\ge0)[/mm] und die x-Achse begrenzen eine Fläche mit dem
> > > Inhalt 8 Flächeneinheiten vollständig.
> > > Bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht
> ein
> > > Drehkörper. Berechnen Sie dessen Rauminhalt.
> > > Der erste Teil der Aufgabenstellung sagt ja aus:
> > >
> > > [mm]\integral_{a}^{b}{k*\wurzel{x} - 3x dx}[/mm] = 8
> > >
> > > richtig?
> > >
> > > Die Untergrenze a ist 0 bzw. es ist eine Nullstelle bei
> > > (0/0) vorhanden, da, setzt man x auf 0 die gesamte
> > > Gleichung null wird.
> >
> > richtig.
> >
> > >
> > > Jetzt weiß ich aber nicht wie ich auf die Obergrenze b
> > > komme. Auch habe ich keine Idee wie ich nun letztendlich
> > > auf k kommen soll.
> >
> > Die obere Grenze bekommst Du, indem Du die zweite
> > Nullstelle der Funktion [mm]f_k(x)[/mm] bestimmst.
> > Wenn Du das hast, kann Du das bestimmte Integral
> > ausrechnen und nach k auflösen.
> >
>
> Mein Problem ist nur, dass ich nicht weiß wie ich die
> zweite Nullstelle bestimme.
Ihr berechnet also Rotationsvolumina ohne vorher Nullstellenvberechnung behandelt zu haben?
So funktionierts:
[mm] $k\cdot{}\wurzel{x}- [/mm] 3x=0 $
[mm] $\Rightarrow \sqrt{x}\cdot(k-3\sqrt{x})=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] erste Nullstelle bei $x=0$
[mm] $\Rightarrow k-3\sqrt{x}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] zweite Nullstelle bei [mm] $x=\frac{k^2}{9}$
[/mm]
> > >
> > > Um letztendich auf das Volumen des Drehkörpers zu kommen,
> > > benötige ich die Formel [mm]\pi*\integral_{0}^{b}{ k*\wurzel{x} - 3x dx}.[/mm]
> >
> > Nein, schlag die Formel nochmal nach.
>
> Achso, ich habe das hoch 2 vergessen.^^ Also lautet die
> Formel dann [mm]\pi*\integral_{0}^{b}{ (k*\wurzel{x} - 3x)^{2} dx}.[/mm]
Jo.
> >
> > > Nur fehlt mir dazu ja b und k.
> >
> > siehe oben.
> >
> > >
> > > Kann mir jemand helfen?
> > >
> > > Gruß CrazyBlue
> > >
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
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Mist, ich war noch halb in den Ferien. Natürlich weiß ich wie man die Nullstellen berechnet. ;)
Okay, die zweite Nullstelle bzw. die Grenze b ist dann [mm] \bruch{k^{2}}{9}.
[/mm]
Also habe ich jetzt [mm] \integral_{0}^{\bruch{k^{2}}{9}}{k*\wurzel{x}-3x dx} [/mm] = 8
Und wie soll ich jetzt auf k kommen? Muss ich das Integral jetzt erstmal schriftlich ausrechnen, also:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{k^{2}}{9}}{k*\wurzel{x}-3xdx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\bruch{k^{2}}{9}}[-1,5x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}kx^{\bruch{3}{2}}] [/mm]
= [mm] (-1,5(\bruch{k^{2}}{9})^{2}+\bruch{2}{3}k(\bruch{k^{2}}{9})^\bruch{3}{2}) [/mm] - [mm] (-1,5(0)^{2}+\bruch{2}{3}k(0)^\bruch{3}{2}) [/mm] = 8
Wie soll ich das jetzt nach k auflösen, oder bin ich gerade völlig falsch?
Gruß CrazyBlue
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Di 01.11.2011 | | Autor: | notinX |
> Mist, ich war noch halb in den Ferien. Natürlich weiß ich
> wie man die Nullstellen berechnet. ;)
>
> Okay, die zweite Nullstelle bzw. die Grenze b ist dann
> [mm]\bruch{k^{2}}{9}.[/mm]
>
> Also habe ich jetzt
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{k^{2}}{9}}{k*\wurzel{x}-3x dx}[/mm] = 8
>
> Und wie soll ich jetzt auf k kommen? Muss ich das Integral
> jetzt erstmal schriftlich ausrechnen, also:
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{k^{2}}{9}}{k*\wurzel{x}-3xdx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{k^{2}}{9}}[-1,5x^{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{3}kx^{\bruch{3}{2}}][/mm]
> =
So sollte das eigentlich aussehen:
[mm] $\int_{0}^{\frac{k^{2}}{9}}\left(k\sqrt{x}-3x\right)\,\mathrm{d}x=\left[k\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{\frac{k^{2}}{9}}=$
[/mm]
> [mm](-1,5(\bruch{k^{2}}{9})^{2}+\bruch{2}{3}k(\bruch{k^{2}}{9})^\bruch{3}{2})[/mm]
> - [mm](-1,5(0)^{2}+\bruch{2}{3}k(0)^\bruch{3}{2})[/mm] = 8
>
> Wie soll ich das jetzt nach k auflösen, oder bin ich
> gerade völlig falsch?
Nein, da bist Du völlig richtig. Wo ist das Problem? Du musst diese Gleichung lösen, das funktioniert ganz genauso wie Nullstellen finden.
Multiplizieren mal alles auf und hoffe, dass eine quadratische Gleichung o.Ä. übrig bleibt.
>
> Gruß CrazyBlue
>
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Okay. Also, der Teil der Gleichung, der nach dem Minuszeichen steht, fällt weg, da er 0 ergibt. Somit bleibt:
[mm] (-1,5(\bruch{k^{2}}{9}) [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}k(\bruch{k^{2}}{9})) [/mm] = 8
Jetzt muss ich das vereinfachen:
[mm] (\bruch{-1,5k^{2}}{-13,5})^{2}) [/mm] + ? = 8
Tja, jetzt hapert es bei mir...ich weiß nicht wie ich den Teil nach dem Plus-Zeichen vereinfachen kann und den von mir vereinfachten Teil kann man wahrscheinlich auch noch irgendwie weiter vereinfachen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Di 01.11.2011 | | Autor: | notinX |
> Okay. Also, der Teil der Gleichung, der nach dem
> Minuszeichen steht, fällt weg, da er 0 ergibt. Somit
> bleibt:
>
> [mm](-1,5(\bruch{k^{2}}{9})[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}k(\bruch{k^{2}}{9}))[/mm]
> = 8
>
> Jetzt muss ich das vereinfachen:
>
> [mm](\bruch{-1,5k^{2}}{-13,5})^{2})[/mm] + ? = 8
>
> Tja, jetzt hapert es bei mir...ich weiß nicht wie ich den
> Teil nach dem Plus-Zeichen vereinfachen kann und den von
> mir vereinfachten Teil kann man wahrscheinlich auch noch
> irgendwie weiter vereinfachen.
>
>
Schau mal:
[mm] $\left[k\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{\frac{k^{2}}{9}}=k\frac{2}{3}(\frac{k^{2}}{9})^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}(\frac{k^{2}}{9})^{2}=k\frac{2}{3}\cdot\frac{k^{3}}{27}-\frac{3}{2}\frac{k^{4}}{81}=8$
[/mm]
Kannst Du jetzt weiterrechnen?
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$ [mm] \left[k\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{\frac{k^{2}}{9}}=k\frac{2}{3}(\frac{k^{2}}{9})^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}(\frac{k^{2}}{9})^{2}=k\frac{2}{3}\cdot\frac{k^{3}}{27}-\frac{3}{2}\frac{k^{4}}{81}=8 [/mm] $
Ich verstehe ja wie du von [mm] -\bruch{3}{2}(\bruch{k^{2}}{9})^{2} [/mm] auf [mm] -\bruch{3}{2}(\bruch{k^{4}}{81}) [/mm] kommst.
Aber ich verstehe nicht wie du von [mm] k*\bruch{2}{3} (\bruch{k^{2}}{9})^{\bruch{3}{2}} [/mm] zu [mm] k*\bruch{2}{3}*(\bruch{k^{3}}{27}) [/mm] kommst.
Und weiterrechnen kann ich auch nicht.^^ Hm, mein GTR schlägt als Vereinfachung für [mm] k*\bruch{2}{3}*(\bruch{k^{3}}{27}) [/mm] das hier vor: [mm] 0,05555555556*K^{4} [/mm] vor. Und für [mm] -\bruch{3}{2}(\bruch{k^{4}}{81}) [/mm] schlägt er [mm] 0.01851851852*k^{4} [/mm] vor. Kann ich die auch nehmen?
Gruß CrazyBlue
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Di 01.11.2011 | | Autor: | notinX |
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> [mm]\left[k\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{\frac{k^{2}}{9}}=k\frac{2}{3}(\frac{k^{2}}{9})^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}(\frac{k^{2}}{9})^{2}=k\frac{2}{3}\cdot\frac{k^{3}}{27}-\frac{3}{2}\frac{k^{4}}{81}=8[/mm]
>
>
> Ich verstehe ja wie du von
> [mm]-\bruch{3}{2}(\bruch{k^{2}}{9})^{2}[/mm] auf
> [mm]-\bruch{3}{2}(\bruch{k^{4}}{81})[/mm] kommst.
>
>
> Aber ich verstehe nicht wie du von [mm]k*\bruch{2}{3} (\bruch{k^{2}}{9})^{\bruch{3}{2}}[/mm]
> zu [mm]k*\bruch{2}{3}*(\bruch{k^{3}}{27})[/mm] kommst.
Potenzgesetze heißt das Zauberwort 
[mm] $k\frac{2}{3}(\frac{k^{2}}{9})^{\frac{3}{2}}=k\frac{2}{3}\left((\frac{k^{2}}{9})^{\frac{1}{2}}\right)^{3}=k\frac{2}{3}\left(\sqrt{\frac{k^{2}}{9}}\right)^{3}=k\frac{2}{3}\left(\frac{k}{3}\right)^{3}=\frac{2k^{4}}{81} [/mm] $
>
> Und weiterrechnen kann ich auch nicht.^^ Hm, mein GTR
Damit kommst Du auf:
[mm] $\frac{2k^{4}}{81}-\frac{k^{4}}{54}=8 [/mm] $
Das sollte doch wirklich ein lösbares Problem sein...
> schlägt als Vereinfachung für
> [mm]k*\bruch{2}{3}*(\bruch{k^{3}}{27})[/mm] das hier vor:
> [mm]0,05555555556*K^{4}[/mm] vor. Und für
> [mm]-\bruch{3}{2}(\bruch{k^{4}}{81})[/mm] schlägt er
> [mm]0.01851851852*k^{4}[/mm] vor. Kann ich die auch nehmen?
Du kannst nehmen, was Du willst. Ich halte es aber für besser wenn man seinen Kopf statt den Rechner benutzt. Mal ganz davon abgesehen, dass das Rechnen schöner aussieht und exakt ist im Gegensatz zu Dezimalzahlen.
>
> Gruß CrazyBlue
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Mi 02.11.2011 | | Autor: | CrazyBlue |
Ich hatte gestern abend keine Lust mehr weiter zurechnen, haben das heute sowieso im Unterricht geklärt.
Auf jeden Fall vielen Dank für deine Hilfe!
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