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| Aufgabe | Ein drehsymmetrisches Staubecken hat eine Parabel mit der Gleichung [mm] y=ax^2 [/mm] als Berandung des Querschnitts. Beim Wasserstand 5m hat die Wasseroberfläche einen Durchmesser von 20m.
a) Welche Gleichung hat die Parabel ?
b) Wie groß ist die Wassermenge, die das Becken beim höchsten Wasserstand 8m fasst ? |
zu a) hatte ich folgendes berechnet:
[mm] f(x)=ax^2 [/mm] und [mm] P_1[10;5] [/mm] und [mm] P_2[-10;5] [/mm] ergeben nach Einsetzen
[mm] 5=a*10^2 [/mm] damit [mm] a=\bruch{1}{20} [/mm] und
[mm] f(x)=\bruch{1}{20}x^2 [/mm] (=Gleichung der Parabel)
zu b) hatte ich dann die Umkehrfunktion berechnet und die Fläche zwischen den Intervallpunkten [0;8] um die x-Achse rotieren lassen.
Die Gleichung der Umkehrfunktion [mm] f^{-1}(x)=\wurzel{20x} [/mm] setzte ich in folgendes Integral ein:
[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{0}^{8}{(\wurzel{20x})^2 dx} [/mm] und erhielt als Ergebnis: 160 [mm] \pi
[/mm]
In diesem Forum bin ich nun auf eine ähnliche Aufgabe gestoßen, nur, dass die Fläche um die y-Achse rotierte:
[mm] (f(x)=\bruch{1}{3}x-2 \wedge [/mm] y=c=1 [mm] \wedge [/mm] y=d=3, dazu die Lösungsformel [mm] V=\pi\integral_{c}^{d}{(\overline {f}(y))^2 dy}.
[/mm]
Kann ich diese Formel für meine Aufgabe nicht auch so schreiben:
[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{c}^{d}{(f^{-1}(x))^2 dx} [/mm] = [mm] pi\integral_{0}^{8}{(\wurzel{20x})^2 dx} [/mm] ?
( Die Intervallgrenzen wären ja dann x=c=0 [mm] \wedge [/mm] x=d=8)
Ist dann [mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \overline{f}(y) [/mm] ? Ist ja praktisch auch eine Rotation um die y-Achse, das Volumen und die Körperform bleiben ja gleich !
Schorsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Sa 10.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Umkehrfkt ist falsch.
[mm] y=\bruch{1}{20}*x^2
[/mm]
daraus [mm] x=\wurzel{20*y}
[/mm]
also [mm] f°{-1}=\wurzel{20*y}
[/mm]
[mm] f=\wurzel{20} [/mm] ist doch einfach ne Parallele zur x-Achse.
Deine Rechnung ist sonst von den Formeln her richtig.
Wenn du direkt um die y- Achse drehen willst
hast du [mm] \pi*\integral_{a}^{b}{x^2 dy} [/mm] darin kannst du [mm] x^2 [/mm] durch 20y ersetzen. Dann kommt schliesslich dasselbe raus !
Gruss leduart
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OK, bei der Umkehrfunktion habe ich natürlich das x vergessen.
Aber Deinen letzten Satz verstehe ich nicht !
Für [mm] x^2 [/mm] soll ich 20y einsetzen ?
Schorsch
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