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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mo 07.12.2009 | | Autor: | MasterEd |
Hallo!
Vielleicht findet jemand meinen Denk- oder Rechenfehler bei folgender Aufgabe:
Bei einem Prozess werden aus den drei Rohstoffen R1, R2 und R3 zunächst die Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 hergestellt. Aus diesen Zwischenprodukten werden die Endprodukte E1 und E2 hergestellt. Die RE-Matrix (Matrix von Rohstoffen nach Endprodukten) lautet:
[mm] $RE=\pmat{ 3 & 2 \\ 5 & 5 \\ 2 & 5 }$
[/mm]
Die Firma soll nun 500 E1 und 600 E2 liefern, wie viele Rohstoffe sind nötig?
Ich habe nun den Rohstoffvektor [mm] $\pmat{x & y& z}$ [/mm] genannt und die Gleichung
[mm] $\pmat{x & y& z}*\pmat{ 3 & 2 \\ 5 & 5 \\ 2 & 5 }=\pmat{500&600}$
[/mm]
gelöst mit folgendem Ergebnis:
$x=3t-100$
[mm] $y=160-\frac{11}{5}*t$
[/mm]
$z=t$
Nun kann ich ja einen Wert für t wählen. Wählt man z.B. t=40, so bekommt man x=20, y=72 und z=40. Diese Werte lösen die Gleichung. Aber auch für andere Werte bekommt man richtige Lösungen, z.B. für t=50.
Wie viele Rohstoffe R1, R2 und R3 braucht die Firma denn nun (mindestens), um die Bestellung produzieren zu können?
Ich bin für jeden Hinweis dankbar. Vielen Dank schon jetzt für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mo 07.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Versuche mal mit folgender Argumentation an die Sacher heranzugehen.
Weder x, y noch z dürfen negativ sein (warum?), also hast du folgende Bedingungen.
[mm] x=3t-100\ge0
[/mm]
[mm] y=160-\frac{11}{5}\cdot{}t\ge0
[/mm]
[mm] z=t\ge0
[/mm]
Kannst du jetzt ein t finden, für das alle drei Bedingungen erfüllt werden. Wenn ja, gibt es evtl. ein kleinstes t, das die Bedingungen erfüllt, das würde ja die Kosten und den Abfall minimieren.
Marius
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Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Aus der Nichtnegativitätsbedingung
$ [mm] x=3t-100\ge0 [/mm] $
$ [mm] y=160-\frac{11}{5}\cdot{}t\ge0 [/mm] $
$ [mm] z=t\ge0 [/mm] $
erhält man dann ja
bei x: [mm] $t\ge\frac{100}{3}$
[/mm]
bei y: [mm] $t\le\frac{800}{11}$
[/mm]
bei z: [mm] $t\ge [/mm] 0$
Daraus kann man ja schlussfolgern, dass [mm] $\frac{100}{3}\le t\le\frac{800}{11}$ [/mm] gelten muss.
Jetzt könnte man sicher herausfinden, wie t dann zu wählen ist, damit ich möglichst wenig Rohstoffe verbrauche oder damit die Kosten der Herstellung (wenn ich die Kosten der Rohstoffe wüsste) minimal werden. Intuitiv würde ich t möglichst klein wählen, also hier z.B. t=34 (kleinster ganzzahliger Wert).
Aber merkwürdig finde ich es schon, dass es anscheinend mehrere Möglichkeiten gibt, die geforderten 500 E1 und 600 E2 aus den Rohstoffen herzustellen. Intuitiv hätte ich gesagt, es gibt genau eine Rohstoffkombination, um diese Bestellung produzieren und alles, was man dann mehr hat an Rohstoffen, bleibt eben übrig. Das Modell scheint davon auszugehen, dass alle Rohstoffe restlos verbraucht werden, oder?
Lieben Gruß, MasterEd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 09.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Mo 07.12.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
bist du sicher, daß es so herum richtig ist? Leider sieht man nicht, wie deine Matrix entstanden ist. Oder kann es sein, daß du diese Matrix von rechts mit dem Endprodukt-Vektor multiplizieren mußt, um den Rohstoff-Vektor zu erhalten. (So ist es in der Schule üblich.)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mo 07.12.2009 | | Autor: | MasterEd |
Hallo,
also die RZ-Matrix (von Rohstoff nach Zwischenprodukt) ist
[mm] RZ=\pmat{ 1 & 1 &0 \\ 1 & 2&1\\ 0&1&2 }
[/mm]
und die ZE-Matrix (von Zwischenprodukt nach Endprodukt) ist
[mm] ZE=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 1\\0&2 }
[/mm]
Das Produkt $RZ*ZE$ lieferte dann die angegebene RE-Matrix (von Rohstoff direkt nach Endprodukt).
Ich verstehe noch nicht ganz, wie herum Du das meinst mit dem multiplizieren. Vielleicht kannst Du mir schreiben, wie herum man das in der Schule multiplizieren würde. Also Rohstoffe (x, y und z) sind gesucht, Anzahl der Endprodukte (500 E1 und 600 E2) sind vorgegeben.
Vielen Dank für Deine Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Mo 07.12.2009 | | Autor: | statler |
Hi,
nach meiner Auffassung bedeutet diese Matrix ZE, daß du für 1 E1 1 Z1 und 2 Z2 brauchst, das ergibt sich aus der 1. Spalte oder aus der Multiplikation [mm] ZE*\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Ist das bei euch auch so? Dann ergibt nämlich [mm] ZE*\vektor{500 \\ 600} [/mm] den Bedarf an Zwischenprodukten.
Gruß
Dieter
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