Ringtheorie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Di 05.04.2005 | | Autor: | lucky_A. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie gehe ich vor, wenn ich das Minimalpolynom von exp(i*3pi/4) finden will?
Wenn ich in [mm] x^{4}+1 [/mm] exp(i*3pi/4) einsetze bekomme ich Null, aber wie zeige ich, das [mm] x^{4}+1 [/mm] minimal also irreduzibel ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 05.04.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich gehe davon aus, dass du das polynom über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] betrachtest.
man kann leich einsehen, dass gilt:
[m] f(X) [/m] irreduzibel [mm] $\Longleftrightarrow$[/mm] [m] f(X + 1) [/m] irreduzibel.
berechnet man in diesem fall [mm] $(X+1)^4 [/mm] + 1$ so kann man mit dem eisenstein kriterium ($p = 2$) einsehen, dass dieses polynom irreduzibel ist.
dieser trick hilft einem öfter weiter, wenn die normalen irreduzibilitätskriterien nicht greifen.
ich hoffe damit kommst du weiter, sonst frage einfach nochmal nach.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mi 06.04.2005 | | Autor: | lucky_A. |
Hi Andreas
das mit dem irreduzibel ist ok, aber wie zeige ich generell, dass dieses Polynom das Minimalpolynom von dieser Nullstelle ist, reicht es zu zeigen, dass es irreduzibel ist. Und ist es nicht so, dass Minimalpolynome nicht unbedingt irreduzibel sein müssen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mi 06.04.2005 | | Autor: | andreas |
hi
das minimalpolynom von [mm] $\alpha \in [/mm] L$ einer körpererweiterunge $L/K$ (in diesem fall [mm] $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$) [/mm] ist per definition das normierte, irreduzible polynom, welches von [mm] $\alpha$ [/mm] annuliert wird. dies ist eindeutig, was man leicht einsehen kann.
war das deine frage?
ein allgemeines vorgehen zum finden des minimalpolynoms kann also sein: beschaffe ein polynom $f [mm] \in [/mm] K[X]$, welches [mm] $\alpha$ [/mm] als nullstelle hat. weise nach, dass dies irreduzibel ist, oder, wenn es das nicht ist, spalte solange faktoren ab, bis der rest irreduzibel ist (bei zerlegung des polynoms mit nullstelle [mm] $\alpha$ [/mm] in zwei faktoren hat mindestens einer der faktoren auch die nullstelle [mm] $\alpha$).
[/mm]
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Mi 06.04.2005 | | Autor: | lucky_A. |
Hi
alles klar, jetzt hab ich es verstanden.
Danke!
|
|
|
|
