Ringhomomorphismen: Injektiv < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mo 12.01.2009 | | Autor: | capreme |
| Aufgabe | Sei h: R [mm] \to [/mm] S ein Ringhomomorphismus. Zeige:
R Körper und S [mm] \not= [/mm] {0} [mm] \Rightarrow [/mm] h injektiv. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also dies scheint ja auf den ersten Blick eine nicht allzuschwere Aufgabe zu sein.
Also entweder man zeigt: h(r) = s = h(r') [mm] \Rightarrow [/mm] r = r'
oder eben einfach [mm] h^{-1}(0) [/mm] = {0}
Allerdings scheiter ich schon an dem ersten Beispiel, das ich mir überlegt hatte:
Wenn R = [mm] \IR [/mm] und S = [mm] \IF_{2} [/mm] (Was ja auch ein Ring sein müsste, oder?)
Dann ist der Ringhomomorphismus doch nicht injektiv!?
Bzw ein Ringhomomorphismus hat ja die Eigenschaft h(1) = 1 und somit
h(2) = h(1+1) = h(1) + h(1) = 1 + 1 = 0
Was ja ein Widerspruch zur Injektivität ist.
Wo ist mein Fehler?
Bin für jede Hilfe dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mo 12.01.2009 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei h: R [mm]\to[/mm] S ein Ringhomomorphismus. Zeige:
>
> R Körper und S [mm]\not=[/mm] {0} [mm]\Rightarrow[/mm] h injektiv.
> Also dies scheint ja auf den ersten Blick eine nicht
> allzuschwere Aufgabe zu sein.
Isses auch nicht!
> Also entweder man zeigt: h(r) = s = h(r') [mm]\Rightarrow[/mm] r =
> r'
> oder eben einfach [mm]h^{-1}(0)[/mm] = {0}
>
> Allerdings scheiter ich schon an dem ersten Beispiel, das
> ich mir überlegt hatte:
>
> Wenn R = [mm]\IR[/mm] und S = [mm]\IF_{2}[/mm] (Was ja auch ein Ring sein
> müsste, oder?)
>
> Dann ist der Ringhomomorphismus doch nicht injektiv!?
> Bzw ein Ringhomomorphismus hat ja die Eigenschaft h(1) = 1
> und somit
> h(2) = h(1+1) = h(1) + h(1) = 1 + 1 = 0
>
> Was ja ein Widerspruch zur Injektivität ist.
> Wo ist mein Fehler?
h ist kein Ringhomomorphismus: 1 = h(1) = h(2*(1/2)) = h(2)*h(1/2) = 0*h(1/2) = 0
Weißt du, wie Ringhomomorphismen mit Idealen zusammenhängen?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
>
> Bin für jede Hilfe dankbar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Mo 12.01.2009 | | Autor: | capreme |
vielen dank! das bringt mich schon weiter
|
|
|
|
