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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Di 07.04.2009 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | Für beliebige komplexe Zahlen [mm] \alpha,\beta,\gamma,...,\nu [/mm] bezeichne [mm] \IQ[\alpha,\beta,\gamma,...,\nu] [/mm] den kleinsten Unterring von [mm] \IC, [/mm] der die Zahlen [mm] \alpha,\beta,\gamma,...,\nu [/mm] enthält. Man beweise, dass
[mm] \IQ[\wurzel{2},\wurzel{5}]=\IQ[\wurzel{2}+\wurzel{5}] [/mm] |
An dieser Aufgabe Rätsel ich schon eine ganze Weile. Den Sachverhalt Versteh ich ja, bloss halt die Zusammenhänge und wie man das beweisen könnte will mir nicht einfallen. Also wäre nett wenn ihr mir die Lösung zukommen lassen würdet damit ich die mal genau studieren kann.
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Um zu beweisen, dass zwei Mengen gleich sind, also A = B gilt, zeigt man meist erst A [mm] \subseteq [/mm] B und dann B [mm] \subseteq [/mm] A.
In deinem Fall also was?
Eine Inklusion ist einfach, die andere aber auch nicht ganz so schwer 
Versuch dich mal an beiden Richtungen und überlege dir vorher, was du zeigen willst / musst.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 07.04.2009 | | Autor: | mb588 |
Ja das hab ich mir auch so gedacht. Das man also [mm] A\subseteqB [/mm] zeigt und denn [mm] B\subseteqA. [/mm] Aber mir Fehlt leider dazu der Ansatz! Weil ich mir nicht ganz sicher bin ob/wie ich die Unter- und Ringeigenschaften einsetzen soll.
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Naja, die Definition "der kleinste Unterring, der a enthält" gibt dir schon einen Hinweis.
Um zu zeigen, dass bspw.
[mm]\IQ[\sqrt{a} + \sqrt{b}] \subseteq \IQ[\sqrt{a},\sqrt{b}][/mm], zeigst du bspw. ganz einfach [mm] \sqrt{a} [/mm] + [mm] \sqrt{b} \in \IQ[\sqrt{a},\sqrt{b}], [/mm] denn dann weisst du was? (Das ist im Übrigens die einfache Inklusion, die andere bekommst du aber auch hin  )
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 07.04.2009 | | Autor: | mb588 |
Wie ist es den die Definition von kleinsten Unterring der a enthält? Irgendwie steh ich jetzt auf dem Schlauch?! Wenn ich sage [mm] \wurzel{2}+\wurzel{5}\in\IQ[\wurzel{2},\wurzel{5}] [/mm] denn stimmt das doch garnicht? Weil es ist ja garnicht in der Menge? Oder bin ich jetzt zu blöd?
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Also: Wenn du zeigen könntest, dass [mm]\wurzel{2}+\wurzel{5}\in\IQ[\wurzel{2},\wurzel{5}][/mm], dann hättest du sofort [mm] \IQ[\wurzel{2}+\wurzel{5}]\subseteq \IQ[\wurzel{2},\wurzel{5}], [/mm] denn wenn [mm] \IQ[\wurzel{2}+\wurzel{5}], [/mm] der kleinste Unterring ist, der [mm] \wurzel{2}+\wurzel{5} [/mm] enthält UND [mm]\wurzel{2}+\wurzel{5}\in\IQ[\wurzel{2},\wurzel{5}][/mm], muss demzufolge die Inklusion gelten.
Und natürlich gilt [mm]\wurzel{2}+\wurzel{5}\in\IQ[\wurzel{2},\wurzel{5}][/mm], betrachte doch mal [mm] \IQ[\sqrt{2},\sqrt{5}] [/mm] (wie sehen denn die Elemente dieses Ringes aus?) und nutze die Ringeigenschaften um [mm]\wurzel{2}+\wurzel{5}[/mm] zu erzeugen.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 07.04.2009 | | Autor: | mb588 |
Naja der Ring [mm] \IQ[\wurzel{2},\wurzel{5}] [/mm] müsste doch erstmal 0, denn [mm] \wurzel{2},\wurzel{5},\wurzel{2}*\wurzel{5},\wurzel{2}+\wurzel{5} [/mm] so und das wären die doch oder? Die anderen beiden auf Grund den binären Verknüpfungen *mal* und *plus* oder?
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Soweit so gut, nun musst du nur noch erkennen, warum in [mm] \IQ[\sqrt{3} [/mm] + [mm] \sqrt{5}] [/mm] auch [mm] \sqrt{3} [/mm] und [mm] \sqrt{5} [/mm] liegen.... betrachte dazu einfach mal [mm] (\sqrt{3} [/mm] + [mm] \sqrt{5})^3.
[/mm]
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 07.04.2009 | | Autor: | mb588 |
Also wenn ich jetzt [mm] (\wurzel{2}+\wurzel{5})³ [/mm] betrachte denn würde ich auf [mm] \wurzel{8}+6*\wurzel{5}+10*\wurzel{2}+\wurzel{125}. [/mm] also liegt [mm] \wurzel{8},6*\wurzel{5},10*\wurzel{2} [/mm] und [mm] \wurzel{125} [/mm] ebenfalls in diesen Ring oder? Kann ich denn daraus direkt schließen das auch [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] \wurzel{5} [/mm] da drin liegen, auch wenn da der Faktor 6 bzw. 10 davor steht?
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Hallo Matthias,
> Also wenn ich jetzt [mm](\wurzel{2}+\wurzel{5})³[/mm] betrachte denn
> würde ich auf
> [mm]\wurzel{8}+6*\wurzel{5}+10*\wurzel{2}+\wurzel{125}.[/mm]
Das glaube ich dir mal so
> also liegt [mm]\wurzel{8},6*\wurzel{5},10*\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]\wurzel{125}[/mm] ebenfalls in diesen Ring oder?
Ja, das solltest du schon begründen, vereinfache mal zuerst:
Es ist doch [mm] $\sqrt{8}+6\cdot{}\sqrt{5}+10\cdot{}\sqrt{2}+\sqrt{125}=2\cdot{}\sqrt{2}+6\cdot{}\sqrt{5}+10\sqrt{2}+5\cdot{}\sqrt{5}=12\sqrt{2}+11\sqrt{5}$
[/mm]
Also eine (rationale) Linearkombination von [mm] $\sqrt{2},\sqrt{5}$.
[/mm]
Ringe sind aber bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] und + abgeschlossen, also liegt mit [mm] $\sqrt{2}+\sqrt{5}$ [/mm] auch [mm] $(\sqrt{2}+\sqrt{5})^3=12\sqrt{2}+11\sqrt{5}\in \IQ[\sqrt{2}+\sqrt{5}]$
[/mm]
Damit also [mm] $12\sqrt{2}\in \IQ[\sqrt{2}+\sqrt{5}]$ [/mm] und daher [mm] $\sqrt{2}\in \IQ[\sqrt{2}+\sqrt{5}]$
[/mm]
Ebenso [mm] $11\sqrt{5}\in \IQ[\sqrt{2}+\sqrt{5}]$, [/mm] also [mm] $\sqrt{5}\in \IQ[\sqrt{2}+\sqrt{5}]$
[/mm]
> Kann ich denn daraus direkt schließen das auch [mm]\wurzel{2}[/mm] und [mm]\wurzel{5}[/mm]
> da drin liegen, auch wenn da der Faktor 6 bzw. 10 davor
> steht?
Es sind zwar etwas andere Koeffizienten, aber die sind rational, aber ansonsten: ja! (mit etwas Begründung )
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Di 07.04.2009 | | Autor: | mb588 |
Ah achso....also muss gezeigt werden, das eine Linearkombination von den "gesuchten" Elementen drin liegt und denn folgt auf Grund der Abgeschlossenheit das denn auch die Elemente drin liegen müssen?! Jetzt hab ich kapiert :D
Vielen dank für die Hilfe
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