Ringe und Ideale < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 So 22.11.2009 | | Autor: | SUNNY000 |
| Aufgabe | | Geben Sie alle Ideale des Rings [mm] \IZ_6 [/mm] an, indem Sie alle seine Elemente aufzählen. |
Hallo Leute,
die Ideal-Definition eines Ringes kenne ich. Die von mir ermittelte Lösung wäre also somit:
[mm] \IZ_6 [/mm] hat also 6 Ideale, nämlich [mm] 0\IZ_6={0}, [/mm] da dieses ja für jeden Ring existiert, [mm] 1\IZ_6, 2\IZ_6, 3\IZ_6, 4\IZ_6 [/mm] und [mm] 5\IZ_6.
[/mm]
Wäre es soweit korrekt?
Was ich allerdings gar nicht verstehe, ist wie man die Faktorringe dazu findet. Hat jemand da einen Tip für mich?
Danke euch im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 So 22.11.2009 | | Autor: | andreas |
hallo
> [mm]\IZ_6[/mm] hat also 6 Ideale, nämlich [mm]0\IZ_6={0},[/mm] da dieses ja
> für jeden Ring existiert, [mm]1\IZ_6, 2\IZ_6, 3\IZ_6, 4\IZ_6[/mm]
> und [mm]5\IZ_6.[/mm]
überlege dir mal, ob nicht manche dieser ideale übereinstimmen. schreibe dir im zweifel mal die einzelnen elemente der ideale auf.
> Was ich allerdings gar nicht verstehe, ist wie man die
> Faktorringe dazu findet. Hat jemand da einen Tip für
> mich?
wieviele elemente haben die faktorringe denn jeweils?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 23.11.2009 | | Autor: | SUNNY000 |
Hallo Andreas,
vielen Dank für deine Antwort.
Ok, das bedeutet dann, dass in [mm] 1\IZ_6 [/mm] die Elemente 1,2,3,4,5 liegen und in [mm] 0\IZ_6 [/mm] eben nur die 0 oder? Dementsprechend wären das dann alle Ideale in [mm] \IZ_6?
[/mm]
> wieviele elemente haben die faktorringe denn jeweils?
Ein Faktorring ist eine Menge, dessen Elemente wiederum Mengen sind. Jedes Element eines Faktorringes wird durch a+I (I für Ideal) gebildet. Da ich zwei Ideale habe, müsste der Faktorring aus zwei Elementen bestehen. Nur wie sieht ein Element a+I aus?
Viele Grüße,
Sunny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mo 23.11.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ok, das bedeutet dann, dass in [mm]1\IZ_6[/mm] die Elemente
> 1,2,3,4,5 liegen und in [mm]0\IZ_6[/mm] eben nur die 0 oder?
> Dementsprechend wären das dann alle Ideale in [mm]\IZ_6?[/mm]
In [mm]1\IZ_6[/mm] liegt natürlich auch die 0. Und das sind nicht alle Ideale. Welches Hauptideal wird denn z. B. von der 2 oder der 3 erzeugt?
> > wieviele elemente haben die faktorringe denn jeweils?
>
> Ein Faktorring ist eine Menge, dessen Elemente wiederum
> Mengen sind. Jedes Element eines Faktorringes wird durch
> a+I (I für Ideal) gebildet. Da ich zwei Ideale habe,
> müsste der Faktorring aus zwei Elementen bestehen. Nur wie
> sieht ein Element a+I aus?
Für einen Faktorring R/I ist das Ideal I fest! Es geht um die Restklassen nach diesem Ideal. Im 1. Fall sehen alle Restklassen gleich aus, weil für alle a und b a+{0, 1, 2, 3, 4, 5} = b+{0. 1. 2. 3. 4. 5} = {0. 1. 2. 3. 4. 5} ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 23.11.2009 | | Autor: | SUNNY000 |
Hallo Dieter,
[mm] \IZ_6 [/mm] ist doch ein kommutativer Ring, folglich ist [mm] a\IZ_6 [/mm] für jedes a [mm] \in [/mm] R ein Ideal von [mm] \IZ_6. [/mm] Das entspricht der ersten Lösung, die ich hatte, die ja nicht richtig zu sein scheint [mm] (0\IZ_6,....,5\IZ_6). [/mm]
Wie finde ich denn dann alle Ideale eines Ringes R?
Das Hauptideal, welches von der [mm] 2\IZ_6 [/mm] bspw. erzeugt wird, ist nach meinem Verständnis: I={2,4}. Also alle Elemente aus [mm] \IZ_6, [/mm] die von a=2 geteilt werden.
Viele Grüße,
Sunny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Sunny!
> [mm]\IZ_6[/mm] ist doch ein kommutativer Ring, folglich ist [mm]a\IZ_6[/mm]
> für jedes a [mm]\in[/mm] R ein Ideal von [mm]\IZ_6.[/mm] Das entspricht der
> ersten Lösung, die ich hatte, die ja nicht richtig zu sein
> scheint [mm](0\IZ_6,....,5\IZ_6).[/mm]
Nun, das sind auch alle Ideale, aber manche von ihnen sind gleich.
> Wie finde ich denn dann alle Ideale eines Ringes R?
Bei einem Hauptidealring schau dir zu jedem Element das davon erzeugte Ideal an.
> Das Hauptideal, welches von der [mm]2\IZ_6[/mm] bspw. erzeugt wird,
> ist nach meinem Verständnis: I={2,4}. Also alle Elemente
Da fehlt 0.
> aus [mm]\IZ_6,[/mm] die von a=2 geteilt werden.
Und was ist mit dem von 3 erzeugten Ideal? Dem von 4 erzeugten Ideal? Dem von 5 erzeugten Ideal?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mo 23.11.2009 | | Autor: | SUNNY000 |
Hallo Felix, dies sind meine Ideale:
[mm] 0\IZ_6=\{0\},
[/mm]
[mm] 1\IZ_6=\{0,1,2,3,4,5\},
[/mm]
[mm] 2\IZ_6=\{0,2,4\},
[/mm]
[mm] 3\IZ_6=\{0,3\},
[/mm]
[mm] 4\IZ_6=\{0,4\},
[/mm]
[mm] 5\IZ_6=\{0,5\}
[/mm]
Ich verstehe schon, dass manche davon gleich sind, denn im Prinzip enthält ja das [mm] 1\IZ_6 [/mm] Ideal alle Elemente, die die anderen Ideale auch enthalten, aber wie kann ich die noch mehr zusammenbringen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Mo 23.11.2009 | | Autor: | andreas |
hallo
> [mm]0\IZ_6=\{0\},[/mm]
> [mm]1\IZ_6=\{0,1,2,3,4,5\},[/mm]
> [mm]2\IZ_6=\{0,2,4\},[/mm]
> [mm]3\IZ_6=\{0,3\},[/mm]
bis hierhin stimmt das.
> [mm]4\IZ_6=\{0,4\},[/mm]
überlege dir, dass $4 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \in 4\IZ_6$.was [/mm] ergibt $4 [mm] \cdot [/mm] 2$ in [mm] $\IZ_6$?
[/mm]
> [mm]5\IZ_6=\{0,5\}[/mm]
hier gibt es auch noch ein paar mehr elemente. berechne mal [mm] $5\cdot [/mm] x$ für alle $x [mm] \in \IZ_6$. [/mm] was erhälst du hier als für weitere elemente des ideals?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Di 24.11.2009 | | Autor: | SUNNY000 |
Aaaah natürlich, vielen dank für den Tipp, hab ich gar nicht bedacht :D
Dann bekomme ich ja insgesamt:
[mm] 0\IZ_6=\{0\},
[/mm]
[mm] 1\IZ_6=\{0,1,2,3,4,5\},
[/mm]
[mm] 2\IZ_6=\{0,2,4\},
[/mm]
[mm] 3\IZ_6=\{0,3\} [/mm] und
[mm] 4\IZ_6=\{0,2,4\},
[/mm]
[mm] 5\IZ_6=\{0,2,3,4,5\}
[/mm]
Und da [mm] 2\IZ_6 [/mm] und [mm] 4\IZ_6 [/mm] die selben Elemente enthalten, kann ich diese zusammenfassen und schreiben:
[mm] 2\IZ_6=4\IZ_6=\{0,2,4\}
[/mm]
Wäre dies dementsprechend korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Di 24.11.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Aaaah natürlich, vielen dank für den Tipp, hab ich gar
> nicht bedacht :D
> Dann bekomme ich ja insgesamt:
>
> [mm]0\IZ_6=\{0\},[/mm]
> [mm]1\IZ_6=\{0,1,2,3,4,5\},[/mm]
> [mm]2\IZ_6=\{0,2,4\},[/mm]
> [mm]3\IZ_6=\{0,3\}[/mm] und
>
> [mm]4\IZ_6=\{0,2,4\},[/mm]
> [mm]5\IZ_6=\{0,2,3,4,5\}[/mm]
>
> Und da [mm]2\IZ_6[/mm] und [mm]4\IZ_6[/mm] die selben Elemente enthalten,
> kann ich diese zusammenfassen und schreiben:
>
> [mm]2\IZ_6=4\IZ_6=\{0,2,4\}[/mm]
>
> Wäre dies dementsprechend korrekt?
für [mm] $4\IZ_6$ [/mm] sieht das schon viel besser aus...
nur [mm] $5\IZ_6$... [/mm] sagt dir der satz von lagrange etwas? ideale müssen insbesondere untergruppen der additiven gruppe sein, hier muss die ordnung der ideale also insbesondere $6$ teilen, was dein [mm] $5\Z_6$ [/mm] noch nicht macht... überlege dir, ob da nicht noch ein element fehlt...
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Di 24.11.2009 | | Autor: | SUNNY000 |
nur [mm]5\IZ_6[/mm]...
Du hast vollkommen recht :) Da habe ich mich wohl verrechnet gehabt.
[mm] 5\IZ_6=\{0,1,2,3,4,5\}
[/mm]
nun kann ich auch noch die Ideale [mm] 1\IZ_6 [/mm] und [mm] 5\IZ_6 [/mm] zusammenfassen.
[mm] 1\IZ_6=5\IZ_6=\{0,1,2,3,4,5\} [/mm]
Korrekt so?
Ist die Schreibweise so auch in Ordnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Di 24.11.2009 | | Autor: | andreas |
Ja, das passt so.
Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 Di 24.11.2009 | | Autor: | SUNNY000 |
Super, dann bedanke ich mich recht herzlich bei allen für ihre Hilfe :)
Viele Grüße
Sunny
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