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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Fr 07.01.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Sei (R, +, *) ein Ring (kommutativ mit 1) mit endlich vielen Elementen. Zeigen Sie, dass jedes Element x [mm] \in \IR [/mm] entweder ein Nullteiler oder eine Einheit ist.
Ich weiss nicht genau wie Ich das Problem angehen soll. Können Sie mir evtl einen Denkanstoss oder/und einen Lösungsansatz erklären und veranschaulichen.
In der Aufgabe gab es auch noch den Hinweis man solle für ein festes a [mm] \in \IR [/mm] die Abbildung f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit x [mm] \mapsto [/mm] a*x.
Ich weiss aber nicht genau was ich damit anfangen soll. Was hat es damit genau auf sich.
Danke für Ihre Hilfe
MfG
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 Sa 08.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Marc,
zuerst zeigst du einfach, dass ein Elemnt nicht gleichzeitig Nullteiler und Einheit sein kann.Dazu setze ich mal voraus, dass du die Definitionen kennst.
Widerspruchsbeweis:
dann betrachte doch mal x als Nullteiler, also existiert ein y mit: xy=0
dann multipliziere doch mal von links mit dem Inversen von x und klammere das Produkt auf beide unterschiedliche Weisen...
Um als nächstes zu zeigen, dass es keine weiteren Elemente gibt:
(wieder mit Widerspruch, nimm an, es gibt ein Element a, dass kein Nullteiler aber auch keine Einheit ist)
1) nimm die Abbildung deines Hinweises und zeige, dass sie injektiv ist (Nullteilerfreiheit verwenden)
2) Folgere Surjektivität (Endlichkeit)
3)Folgere, dass a ein multiplikatives Inverses hat (und damit den Widerspruch)
hoffe, es hilft dir...
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 12.01.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
ich hab jetzt vorausgesetzt das x [mm] \in [/mm] R und x Nullteiler ist, also wie gesagt
x*y = 0
Muss ich dann schon sagen dass y [mm] \not= [/mm] 0 ist um dann:
x+y=0
[mm] \gdw x^{-1}*x*y=x^{-1}*0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1*y=0
y= 0 <-- wäre das jetzt der widerspruch?
Dann zu der Sache mit der Injektivität:
die Funktion ist ja f: R [mm] \to [/mm] R mit x [mm] \mapsto [/mm] ax
Wie soll ich da genau die Injektivität prüfen, und wie kann ich das dann auf die Aufgabe beziehen und wie kann ich dann daraus die Surjektivität herleiten?
Das ganze ist mir irgendwie nicht klar wie ich das angehen soll...
Danke für jede Hilfe
mfg
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mi 12.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi,
a war als Nicht-Nullteiler vorrausgesetzt!
injektivtät bedeutet Kern={0} und das kann man dann leicht zeigen, oder?
zur surjektivität: ganz allgemein kann man für eine endliche Menge M und eine selbstabbildung f:M->M zeigen:
f ist injektiv $ [mm] \gdw [/mm] $ f ist surjektiv $ [mm] \gdw [/mm] $ f ist bijektiv
mach dir das mal an einer beliebigen Menge klar, ist nicht so kompliziert, wie es aussieht.
Damit hättest du die bijektivität ! Also - um den letzten Teil zu zeigen : wird auch die 1 getroffen - damit erhält man ein multiplikatives inverses zu a, also ist a eine Einheit...
hilft es jetzt mehr?
viele Grüße
DaMenge
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