Ring über rat. Zahlen + ZPE-R. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich habe mal wieder Probleme mit einer Aufgabe. Ehrlich gesagt scheitere ich schon daran, mir richtig den Ring [mm] $\IQ_{p}$ [/mm] vorstellen zu können, weil die Definition so seltsam ist. Ich habe es mal für [mm] $\IQ_{2}$ [/mm] probiert, indem ich das Cantorsche Diagonalverfahren mal für 6x6 ausgeführt und dann alle "falschen" Zahlen gestrichen habe (rot):
[mm] \bruch{1}{1} \red{\bruch{1}{2}} \bruch{1}{3} \red{\bruch{1}{4}} \bruch{1}{5} \red{\bruch{1}{6}}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{1} \bruch{2}{2} \bruch{2}{3} \red{\bruch{1}{2}} \bruch{2}{5} \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{1} \red{\bruch{3}{2}} \bruch{3}{3} \red{\bruch{3}{4}} \bruch{3}{5} \red{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{4}{1} \bruch{2}{1} \bruch{4}{3} \bruch{4}{4} \bruch{4}{5} \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{5}{1} \red{\bruch{5}{2}} \bruch{5}{3} \red{\bruch{5}{4}} \bruch{5}{5} \red{\bruch{5}{6}}
[/mm]
[mm] \bruch{6}{1} \bruch{3}{1} \bruch{2}{1} \red{\bruch{3}{2}} \bruch{6}{5} \bruch{6}{6}
[/mm]
Bei [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1 etc. war ich mir nicht sicher, ob ich die ausschließen kann oder nicht... D.h. bis dahin wäre
[mm] $\IQ_{p} [/mm] = [mm] \left\{\bruch{1}{1},\bruch{2}{1},\bruch{3}{1},\bruch{4}{1},\bruch{5}{1},\bruch{6}{1},\bruch{1}{3},\bruch{2}{3},\bruch{4}{3},\bruch{5}{3},\bruch{1}{5},\bruch{2}{5},\bruch{3}{5},\bruch{4}{5},\bruch{6}{5}\right\}$
[/mm]
Nur damit bin ich auch noch nicht schlauer geworden, wie ich zum Beispiel a) lösen könnte. Jedes Element r eines Ringes R muss sich ja in Form von
r = [mm] e*p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot{}...\cdot{}p_{n}^{\alpha_{n}}
[/mm]
mit e Einheit und [mm] p_{k} [/mm] Primelement sowie [mm] $\alpha_{k}\in\IN$ [/mm] darstellen lassen.
Also kann e doch nur -1 bzw. 1 sein, oder?
Nun ist aber noch die Frage, was hier Primelemente sind. Bei [mm] $\IQ_{2}$ [/mm] hätte ich gesagt erstmal alle natürlichen Zahlen, d.h.
[mm] \bruch{k}{1}
[/mm]
mit [mm] k\in\IN. [/mm] Im Nenner können jetzt nur ungerade Zahlen stehen, weil 2 sie sonst teilen würde:
[mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
wobei [mm] 2\not|k. [/mm] Dann wäre noch die Frage wie überhaupt die 0 untergebracht wird...
Also hier meine konkrete Frage: Sind meine Lösungsansätze richtig, oder ist das Käse? Gibt es einen besseren, "theoretischeren" Weg. Ich habe bis zur Einführung der ZPE-Ringe geguckt und erstmal nichts gefunden, wo ich gesagt hätte das macht es einfacher.
Ich würde mich über eure Hilfe freuen!
Grüße,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Mi 14.01.2009 | | Autor: | statler |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Guten Morgen Stefan!
> Ich habe mal wieder Probleme mit einer Aufgabe. Ehrlich
> gesagt scheitere ich schon daran, mir richtig den Ring
> [mm]\IQ_{p}[/mm] vorstellen zu können, weil die Definition so
> seltsam ist.
Da ist doch nix seltsam!
> Ich habe es mal für [mm]\IQ_{2}[/mm] probiert, indem
> ich das Cantorsche Diagonalverfahren mal für 6x6 ausgeführt
> und dann alle "falschen" Zahlen gestrichen habe (rot):
>
> [mm]\bruch{1}{1} \red{\bruch{1}{2}} \bruch{1}{3} \red{\bruch{1}{4}} \bruch{1}{5} \red{\bruch{1}{6}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{1} \bruch{2}{2} \bruch{2}{3} \red{\bruch{1}{2}} \bruch{2}{5} \bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{1} \red{\bruch{3}{2}} \bruch{3}{3} \red{\bruch{3}{4}} \bruch{3}{5} \red{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{4}{1} \bruch{2}{1} \bruch{4}{3} \bruch{4}{4} \bruch{4}{5} \bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{5}{1} \red{\bruch{5}{2}} \bruch{5}{3} \red{\bruch{5}{4}} \bruch{5}{5} \red{\bruch{5}{6}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{6}{1} \bruch{3}{1} \bruch{2}{1} \red{\bruch{3}{2}} \bruch{6}{5} \bruch{6}{6}[/mm]
>
> Bei [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1 etc. war ich mir nicht sicher, ob ich
> die ausschließen kann oder nicht... D.h. bis dahin wäre
>
> [mm]\IQ_{p} = \left\{\bruch{1}{1},\bruch{2}{1},\bruch{3}{1},\bruch{4}{1},\bruch{5}{1},\bruch{6}{1},\bruch{1}{3},\bruch{2}{3},\bruch{4}{3},\bruch{5}{3},\bruch{1}{5},\bruch{2}{5},\bruch{3}{5},\bruch{4}{5},\bruch{6}{5}\right\}[/mm]
[mm] \IQ_{p} [/mm] ist keine endliche Menge, du müßtest da auch die negativen Brüche andeuten und an geeigneter Stelle ein paar Punkte ... einfügen. Was ist die gekürzte (Bruch-)Form einer ganzen Zahl k? Doch wohl [mm] \bruch{k}{1}. [/mm]
>
> Nur damit bin ich auch noch nicht schlauer geworden, wie
> ich zum Beispiel a) lösen könnte. Jedes Element r eines
> Ringes R muss sich ja in Form von
>
> r =
> [mm]e*p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot{}...\cdot{}p_{n}^{\alpha_{n}}[/mm]
>
> mit e Einheit und [mm]p_{k}[/mm] Primelement sowie [mm]\alpha_{k}\in\IN[/mm]
> darstellen lassen.
> Also kann e doch nur -1 bzw. 1 sein, oder?
Sich erstmal zu überlegen, was denn die Einheiten sind, ist ein guter Gedanke. Das Inverse eines Bruches ist sein Kehrbruch, welche Kehrbrüche kann ich in [mm] \IQ_{p} [/mm] bilden?
> Nun ist aber noch die Frage, was hier Primelemente sind.
> Bei [mm]\IQ_{2}[/mm] hätte ich gesagt erstmal alle natürlichen
> Zahlen, d.h.
>
> [mm]\bruch{k}{1}[/mm]
>
> mit [mm]k\in\IN.[/mm] Im Nenner können jetzt nur ungerade Zahlen
> stehen, weil 2 sie sonst teilen würde:
>
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm]
>
> wobei [mm]2\not|k.[/mm]
Muß k [mm] \in \IN [/mm] sein? Nee!
> Dann wäre noch die Frage wie überhaupt die 0
> untergebracht wird...
Naja, als [mm] \bruch{0}{1}.
[/mm]
> Also hier meine konkrete Frage: Sind meine Lösungsansätze
> richtig, oder ist das Käse?
Die Ansätze sind nicht super, aber auch nicht so völlig falsch, es ist immer gut, sich ein Beispiel, also hier [mm] \IQ_{2}, [/mm] zurechtzulegen. Aber es ist nicht zu Ende gedacht.
> Gibt es einen besseren,
> "theoretischeren" Weg. Ich habe bis zur Einführung der
> ZPE-Ringe geguckt und erstmal nichts gefunden, wo ich
> gesagt hätte das macht es einfacher.
Das richtige Schlagwort ist 'lokaler Ring', aber mach erstmal dein eigenes Ding.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo und Danke für deine Antwort!
Ich war gestern Abend wirklich total unkonzentriert! Natürlich war das alles falsch.
Jetzt habe ich folgende Überlegungen:
Einheiten von [mm] \IQ_{p} [/mm] müssen 1, d.h. [mm] \bruch{1}{1} [/mm] teilen. Damit ist jedes Element [mm] $q\in\IQ_{p}$ [/mm] Einheit, wenn ein [mm] s\in\IQ_{p} [/mm] existiert sodass
[mm] $\bruch{1}{1} [/mm] = q*s$
Das bedeutet natürlich ich suche alle Brüche $q = [mm] \bruch{a}{b}$, [/mm] bei welchen auch der Kehrwert [mm] $\bruch{b}{a}$ [/mm] in [mm] $\IQ_{p}$ [/mm] enthalten ist. Weil die Definition von [mm] \IQ_{p} [/mm] ausgeschrieben so lautet:
[mm] $\IQ_{p} [/mm] = [mm] \left\{\bruch{a}{b}\Big|a\in\IZ, b\in\IN,\ \ p\not| b \mbox{ und } ggT(a,b) = 1\right\}$,
[/mm]
haben dann Einheiten logischerweise die Form
$Einheiten = [mm] \left\{\bruch{a}{b}\in\IQ_{p}\Big| p\not|a \mbox{ und } p\not|b \right\}$
[/mm]
Primelemente hingegen dürfen als Teiler nur Einheiten oder assoziierte Elemente haben. Sobald es also eine Darstellung für [mm] $q\in\IQ_{p}$ [/mm] der Form
$q = Nichteinheit*Nichteinheit$
gäbe, wäre q kein Primelement mehr. Nun haben Nichteinheiten aber gerade die Form
[mm] $\bruch{a*p}{b} \in\IQ_{p}$
[/mm]
mit [mm] $a\in\IZ, b\in\IN$ [/mm] (genau dann existiert nämlich kein Kehrwert). D.h. jedes Element [mm] q\in\IQ_{p}, [/mm] was sich folgendermaßen schreiben lässt:
[mm] $\bruch{a*p^{k}}{b} \in\IQ_{p}$
[/mm]
mit k > 1 ist kein Primelement, weil es sich als Produkt von Nichteinheiten darstellen lässt:
[mm] $\bruch{a*p^{k}}{b} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}*p}{b_{1}} [/mm] * [mm] \bruch{a_{2}*p^{k-1}}{b_{2}}$.
[/mm]
Bleiben also nur die Elemente der Form
[mm] $\bruch{a*p}{b} \in\IQ_{p}$
[/mm]
übrig. (Ich gehe immer davon aus, dass [mm] $p\not|a$ [/mm] und [mm] $p\not|b$). [/mm] Und ich behaupte, dass das gerade die Primelemente sind, weil ich bei Ihnen keine Zerlegung finden kann, sodass sie aus zwei Nicht-Einheiten bestehen. (Genauer kann ich das dummerweise nicht begründen). Also:
$Primelemente = [mm] \left\{\bruch{b}{c}\in\IQ_{p}\Big| b = a*p \mbox{ mit } p\not|a\right\}$
[/mm]
Ist das jetzt richtig? Wie könnte ich das mit den Primelementen noch besser begründen?
Grüße,
Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 16.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Zu zeigen ist, dass [mm] \IQ_{p} [/mm] ein ZPE-Ring ist. |
Hallo!
Bei den folgenden Ansätzen zum Beweis, dass [mm] \IQ_{p} [/mm] ein ZPE bzw. euklidischer Ring ist, bin ich auch erfreut über Kommentare zu nur einem Ansatz!
Ansatz 1:
Damit [mm] \IQ_{p} [/mm] ein ZPE-Ring (Gaußscher Ring, faktorieller Ring) ist, müsste ich zeigen, dass ZPE1 erfüllt ist:
(ZPE1) jedes Element [mm] a\not= [/mm] 0 des Ringes kann als Produkt $a = [mm] \epsilon*p_{1}*...*p_{r}$ [/mm] dargestellt werden, wobei [mm] \epsilon [/mm] Einheit und [mm] p_{1},...,p_{r} [/mm] Primelemente sind.
Außerdem habe ich dann die Wahl zwischen
(ZPE2) Wesentliche Eindeutigkeit der obigen Darstellung
oder
(ZPE3) Für p Primelement des Rings und a,b beliebige Elemente folgt aus p|a*b dass p|a oder p|b.
Ich habe gelesen, dass man selten über diesen Weg geht und die Eigenschaften eines ZPE-Rings nachweist, weil das nicht so gut geht. Ich wüsste auch überhaupt nicht, wie ich zum Beispiel bei ZPE1 anfangen soll. Was darf ich denn überhaupt voraussetzen, tun zu dürfen wenn ich noch zeigen muss dass es eine Zerlegung gibt?
Mein einziger Ansatz wäre: Sei [mm] $\bruch{a}{b}\in\IQ_{p}$. [/mm] Wenn [mm] \bruch{a}{b} [/mm] Einheit ist die Aussage trivial (?). Sei also obdA. [mm] \bruch{a}{b} [/mm] keine Einheit. Dann existiert eine Zerlegung [mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{c_{1}}{d_{1}}*\bruch{c_{2}}{d_{2}}... [/mm] Aber ich weiß eben überhaupt nicht, was ich dann tun sollte.
Ansatz 2
In Anbetracht, dass ich sowieso zeigen müsste, dass [mm] \IQ_{p} [/mm] sogar ein euklidischer Ring ist, habe ich versucht erstmal zu zeigen dass [mm] \IQ_{p} [/mm] ein Hauptidealring ist. Dazu muss ich zeigen, dass [mm] \IQ_{p} [/mm] Integritätsbereich ist und jedes Ideal ein Hauptideal.
Ein Integritätsbereich ist ja ein kommutativer Ring, der mindestens zwei Elemente hat und nullteilerfrei ist. (Laut Vorlesung).
Die Kommutativität und Nullteilerfreiheit "erbt" doch [mm] \IQ_{p} [/mm] von [mm] \IQ.
[/mm]
(Wie könnte man das etwas mathematischer aufschreiben?)
In [mm] \IQ_{p} [/mm] sind außerdem stets [mm] \bruch{1}{1} [/mm] und [mm] \bruch{p}{1} [/mm] enthalten.
Jetzt müsste ich zeigen, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist, d.h. von einem Element erzeugt wird. Da weiß ich aber auch überhaupt nicht, wie ich rangehen sollte. Ich habe in einem anderen Thread gelesen, dass ich nur Ideale betrachten müsse, die von Potenzen von p aufgespannt werden, das Problem ist bloß dass ich absolut keine Ahnung habe wie ich einen solchen Beweis aufbauen sollte.
Ansatz 3:
Ich könnte ja auch gleich versuchen zu zeigen dass [mm] \IQ_{p} [/mm] ein euklidischer Ring ist. Das [mm] \IQ_{p} [/mm] Integritätsbereich, habe ich schon in Ansatz 2 versucht darzulegen. Eine euklidische Gradfunktion könnte gemäß einem anderen Thread (siehe Ansatz 2)
$ [mm] \nu_p: \mathbb{Q}_{(p)} \longrightarrow \mathbb{N}_0; \; [/mm] x = [mm] \frac{a}{b}\longmapsto \max \{ \ell \in \mathbb{N}_0: p^\ell \, | \, a \} [/mm] $
sein. Nun müsste ich nun zeigen, dass für [mm] a,b\in\IQ_{p} [/mm] Elemente [mm] q,r\in\IQ_{p} [/mm] existieren sodass
(i) a = q*b+r
(ii) r = 0 oder [mm] \nu(r) [/mm] < [mm] \nu(b).
[/mm]
(Zusammenfassung meines Problems:) Auch hier habe ich aber wieder das Problem, dass ich absolut nicht weiß, was ich eigentlich darf und was nicht. Natürlich könnte ich mir jetzt zwei Elemente a,b nehmen:
[mm] \bruch{a_{1}*p^{k}}{a_{2}},\bruch{b_{1}*p^{l}}{b_{2}}
[/mm]
(Darf ich solch eine Darstellung überhaupt wählen?)
Nun müsste ich überlegen, wie die Elemente q,r beschaffen sein müssen. mir fällt da ein:
$q = [mm] \bruch{b_{2}}{a_{2}} \in\IQ_{p}$ [/mm] (Sozusagen eine passende Einheit, die den Nenner anpasst)
$r = [mm] \bruch{a_{1}*p^{k}-b_{1}*p^{l}}{a_{2}} \in \IQ_{p}$
[/mm]
Bei dem Zweiten Bruch bin ich mir aber nicht sicher, ob ich da nochwas dazuschreiben muss warum das in [mm] \IQ_{p} [/mm] ist. Eigentlich ja nicht, weil der Zähler offensichtlich ganzzahlig ist...
Bei der zweiten Bedingung, die ich zeigen muss, bin ich aber wieder etwas ratlos. Denn zum Beispiel bei [mm] IQ_{2} [/mm] würde ja
[mm] $\bruch{8}{15} [/mm] = [mm] \bruch{4}{7}*\bruch{7}{15} [/mm] + [mm] \bruch{4}{15}$
[/mm]
nicht r = 0 sein und auch nicht [mm] \nu{r}= [/mm] 2 < 2 = [mm] \nu{b}. [/mm] Stimmt die Gradfunktion nicht oder verstehe ich etwas falsch?
Vielen Dank für Eure Mühe!
Grüße,
Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Do 15.01.2009 | | Autor: | Kyle |
Hallo,
leider unter Zeitdruck, aber schonmal einige kurze Hinweise:
Für den Beweis von (ZPE1) frag Dich zunächst, welche Elemente überhaupt prim sind. Das und die Kenntnis über die Gestalt der Einheiten sollte weiterhelfen.
Tip zu Ansatz 2: Um zu zeigen, daß alle Ideale I von einem Element [mm] p^t [/mm] mit t [mm] \in \IN_0 [/mm] erzeugt werden, stelle ein beliebiges Element aus dem Ideal dar als p-Potenz multipliziert mit einer Einheit. Bilde dann das Minimum über alle Exponenten von p, also
[mm] \mu [/mm] = [mm] \{min\,\, r \in \IN_0: \exists Einheit \bruch{a}{b}: p^r \bruch{a}{b} \in I\}.
[/mm]
Versuch einfach mal, damit weiter zu arbeiten.
gruß,
Kyle
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 16.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
