Ring faktoriell => ex. ggT < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Sa 31.01.2009 | | Autor: | okozo |
Die Hierarchie [euklidisch => Hauptidealring => faktoriell] habe ich jetzt intus, allerdings herrscht noch Unklarheit darüber, ab welcher Stufe man die Existenz eines ggT voraussetzen darf.
Gibt es einen faktoriellen Ring ohne ggT?
Ist die Existenz eines ggT erst für Hauptidealringe gesichert?
Wenn gilt [faktoriell => ex. ggT], wie begründet man das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 31.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die Hierarchie [euklidisch => Hauptidealring => faktoriell]
> habe ich jetzt intus, allerdings herrscht noch Unklarheit
> darüber, ab welcher Stufe man die Existenz eines ggT
> voraussetzen darf.
>
> Gibt es einen faktoriellen Ring ohne ggT?
> Ist die Existenz eines ggT erst für Hauptidealringe
> gesichert?
Ein faktorieller Ring reicht, da man dort eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat.
> Wenn gilt [faktoriell => ex. ggT], wie begründet man das?
Die Methode (woraus man sofort einen Beweis bekommt) solltest du schon aus der Schule kennen. Dort hat man ja den ggT von zwei ganzen Zahlen wie folgt bestimmt:
nehmen wir mal die Zahlen $a = 4$ und $b = -6$. Die vorkommenden Primzahlen sind 2 und 3, und man erhaelt $a = 1 [mm] \cdot 2^2 \cdot 3^0$ [/mm] und $b = (-1) [mm] \cdot 2^1 \cdot 3^1$. [/mm] (Das [mm] $\pm [/mm] 1$ sind jeweils Einheiten.)
Wie kommt man da jetzt wohl auf den ggT $2 = [mm] 2^1 \cdot 3^0$?
[/mm]
(Das kgV bekommt man genauso: hier ist das $12 = [mm] 2^2 \cdot 3^1$. [/mm] Siehst du auch wie man darauf kommt?)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 So 01.02.2009 | | Autor: | okozo |
Bei den Nicht-Einheiten jeweils den kleinsten (kgV: größten) Exponenten wählen. Thx.
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