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| Aufgabe | Sei R ein Ring.
Ist R ein Ring mit Charakteristik p ohne Nullteiler, dann ist p prim. Ist R auch kommutativ, gilt:
[mm] (r+s)^{p^{n}} [/mm] = [mm] r^{p^{n}} [/mm] + [mm] s^{p^{n}} [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dass p prim ist konnte ich zeigen, jetzt zum zweiten Teil:
da R kommutiert, gelten die Binomischen Formeln.
[mm] (r+s)^{p^{n}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{p^{n}}\vektor{p^{n} \\ k}r^{p^{n}-k}*s^{k}
[/mm]
das erste und letzte Glied kann ich aus der Summe ziehen:
= [mm] r^{p^{n}} +\summe_{k=1}^{p^{n}-1}(\vektor{p^{n} \\ k}r^{p^{n}-k}*s^{k}) [/mm] + [mm] s^{p^{n}}
[/mm]
also muss [mm] \summe_{k=1}^{p^{n}-1}(\vektor{p^{n} \\ k}r^{p^{n}-k}*s^{k}) [/mm] = 0 gelten,
dazu müsste ich doch nur zeigen, dass [mm] (\vektor{p^{n} \\ k} [/mm] für alle 0 < k < [mm] p^{{n}-1} [/mm] den Faktor p enthält, dann könnte ich die Eigenschaft [mm] p*1_{R} [/mm] = [mm] 0_{R} [/mm] ausnutzen.
Für den Fall n = 1 ist das recht einfach:
[mm] (\vektor{p \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{p!}{k!(p-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{p..(p-k+1)}{k!}
[/mm]
da k < p und p prim, kann k! nicht den Faktor p enthalten.
hat jemand eine Idee, wie ich das für n > 1 zeigen könnte, oder geht es vielleicht noch viel einfacher?
vielen Dank für Eure Hilfe!
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> Sei R ein Ring.
> Ist R ein Ring mit Charakteristik p ohne Nullteiler, dann
> ist p prim. Ist R auch kommutativ, gilt:
> [mm](r+s)^{p^{n}}[/mm] = [mm]r^{p^{n}}[/mm] + [mm]s^{p^{n}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Dass p prim ist konnte ich zeigen, jetzt zum zweiten Teil:
> da R kommutiert, gelten die Binomischen Formeln.
> [mm](r+s)^{p^{n}}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{p^{n}}\vektor{p^{n} \\ k}r^{p^{n}-k}*s^{k}[/mm]
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> das erste und letzte Glied kann ich aus der Summe ziehen:
> = [mm]r^{p^{n}} +\summe_{k=1}^{p^{n}-1}(\vektor{p^{n} \\ k}r^{p^{n}-k}*s^{k})[/mm]
> + [mm]s^{p^{n}}[/mm]
>
> also muss [mm]\summe_{k=1}^{p^{n}-1}(\vektor{p^{n} \\ k}r^{p^{n}-k}*s^{k})[/mm]
> = 0 gelten,
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> dazu müsste ich doch nur zeigen, dass [mm](\vektor{p^{n} \\ k}[/mm]
> für alle 0 < k < [mm]p^{{n}-1}[/mm] den Faktor p enthält, dann
Hallo,
wieso denn kleiner als [mm] p^{n-1}?
[/mm]
Eher [mm] p^n-1, [/mm] oder?
Wenn [mm] 0
Es ist [mm] \vektor{p^n\\k}=\bruch{p^n}{1}*\bruch{p^n-1}{2}*\bruch{p^n-2}{3}*...**\bruch{p^n-k+1}{k}.
[/mm]
Überlege Dir jetzt, welche p-Potenzen im Zähler vorkommen und welche im Nenner.
Gruß v. Angela
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