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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Di 27.05.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Sei ein Ring R und e [mm] \in [/mm] R ein Idempotent (d.h. [mm] e^{2}=e). [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] eRe:=\{ere | r \in R\}
[/mm]
ein Ring ist, wenn man die Addition und Multiplikation aus R auf eRe einschränkt. Was ist das Einselement von eRe? |
Hallo, versuche grad zu zeigen, dass (eRe,+) eine abelsche Gruppe ist.
Hierfür muss als erstes gelten: eae+(ebe+ece)=(eae+ebe)+ece, a,b,c [mm] \in [/mm] R
Nur wie soll man das jetzt zeigen? Wie kann man denn z.B berechnen, was ebe+ece ist? Da hänge ich jetzt grad irgendwie..
Würde mich über Tipps freuen!
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Hallo Topologe,
Die Gleichung folgt aus der Assoziativität der Addition in $R$, welche für alle Ringelemente gilt; insbesondere welche der Form $ere$. Ihr kennt doch bestimmt das Konzept eines Teilringes/Unterringes. Zeige einfach, dass es sich um einen Teilring handelt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 28.05.2014 | | Autor: | Topologe |
Hey, danke 
Also ich wuerde dann folgendes schreiben:
eRe [mm] \subset [/mm] R Unterring, falls gilt:
1) (eRe,+) Untergruppe von (R,+)
2 eRe abgeschlossen bzgl Multiplikation
zu 1)
(eRe,+) Untergruppe von (R,+), falls
i) eRe nicht die leere Menge
ii) eRe abgeschlossen bzgl Addition
iii) Für jedes Element von eRe existiert ein additives Inverses
zu i) da e,r Ringelemente von R sind, ist eRe schon mal nicht die leere Menge
zu ii) Es muss gelten (eae)+(ebe) [mm] \in [/mm] eRe, a,b,e [mm] \in [/mm] R
Aufgrund des Distributivgesetzes gilt (eae)+(ebe)=e(a+b)e [mm] \in [/mm] eRe
zu iii) da R Ring, also existiert zu jedem Element in R ein additives Inverses, also es existieren [mm] a,e,a^{-1},e^{-1}
[/mm]
Also [mm] eae+e^{-1}a^{-1}e^{-1}=eae+(eae)^{-1} [/mm]
Somit (eRe,+) Untergruppe von (R,+)
zu 2)
eRe abgeschlossen bzgl Multiplikation, also muss gelten:
(eae)*(ebe) [mm] \in [/mm] eRe , a,b,e [mm] \in [/mm] R
Es gilt (eae)*(ebe)=eaeebe=eabe=e(ab)e [mm] \in [/mm] eRe
Also abgeschlossen bzgl. Multiplikation
Also eRe Unterring von R und somit selbst Ring mit Einselement e1e,
denn (e1e)*(eae)=e1eeae=e1ae=eae, a [mm] \in [/mm] R
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 28.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey, danke
>
> Also ich wuerde dann folgendes schreiben:
>
> eRe [mm]\subset[/mm] R Unterring, falls gilt:
>
> 1) (eRe,+) Untergruppe von (R,+)
> 2 eRe abgeschlossen bzgl Multiplikation
>
> zu 1)
> (eRe,+) Untergruppe von (R,+), falls
> i) eRe nicht die leere Menge
> ii) eRe abgeschlossen bzgl Addition
> iii) Für jedes Element von eRe existiert ein additives
> Inverses
>
> zu i) da e,r Ringelemente von R sind
Was ist denn r ????
> , ist eRe schon mal
> nicht die leere Menge
es ist doch e=eee [mm] \in [/mm] eRe !!!
>
> zu ii) Es muss gelten (eae)+(ebe) [mm]\in[/mm] eRe, a,b,e [mm]\in[/mm] R
> Aufgrund des Distributivgesetzes gilt (eae)+(ebe)=e(a+b)e
> [mm]\in[/mm] eRe
Ja
>
> zu iii) da R Ring, also existiert zu jedem Element in R ein
> additives Inverses, also es existieren [mm]a,e,a^{-1},e^{-1}[/mm]
> Also [mm]eae+e^{-1}a^{-1}e^{-1}=eae+(eae)^{-1}[/mm]
Das ist doch Unfug !! Das additive Inverse von eae ist e(-a)e
>
> Somit (eRe,+) Untergruppe von (R,+)
>
> zu 2)
> eRe abgeschlossen bzgl Multiplikation, also muss gelten:
> (eae)*(ebe) [mm]\in[/mm] eRe , a,b,e [mm]\in[/mm] R
> Es gilt (eae)*(ebe)=eaeebe=eabe=e(ab)e [mm]\in[/mm] eRe
> Also abgeschlossen bzgl. Multiplikation
Ja
>
>
> Also eRe Unterring von R und somit selbst Ring mit
> Einselement e1e,
Es ist e1e=e !!!
FRED
> denn (e1e)*(eae)=e1eeae=e1ae=eae, a [mm]\in[/mm] R
>
> LG
>
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>
> Es ist e1e=e !!!
>
Das gilt nur dann, wenn $ e=1$, du meinst sicher $ e1e=1$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Mi 28.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Es ist e1e=e !!!
> >
>
> Das gilt nur dann, wenn [mm]e=1[/mm], du meinst sicher [mm]e1e=1[/mm].
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
e ist doch idempotent, also [mm] e^2=e
[/mm]
FRED
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Stimmt, habe ich auch gerade gemerkt. Sry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Do 29.05.2014 | | Autor: | Topologe |
Super, danke euch beiden!
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