Riemann Lemma (2 Fragen) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe einige Fragen zu einem Beweis des Riemann Lemmas.
Hier ist es - samt Beweis so wie er mir vorliegt:
Für stetig differenzierbare Funktionen f:[a, b] [mm] \to \IR [/mm] gilt:
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\integral_{a}^{b}{f(t) sin(Rt) dt} [/mm] = 0.
Hier der Beweis:
Mit partieller Integration folgt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(t) sin(Rt) dt} [/mm] = [mm] \frac{-f(t)cos(Rt)}{R} |^{t=b}_{t=a} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{\frac{f'(t)cos(Rt)}{R} dt}
[/mm]
(*) Das ausintegrierte Integral geht gegen 0 für R gegen unendlich (a, b fest).
f' ist auf dem kompakten Intervall [a, b] stetig, also beschränkt, etwa |f'(t)| < M für alle t [mm] \in [/mm] [a, b].
(**) Damit kann das umgeformte Integral abgeschätzt werden durch:
[mm] \left| \integral_{a}^{b}{\frac{f'(t)cos(Rt)}{R}} \right| \le \frac{M|b-a|}{R} \to [/mm] 0 für R gegen unendlich.
qed.
Fein.
Meine erste Frage bezieht sich auf (*). Wieso geht das ausintegrierte Integral geht gegen 0 für R gegen unendlich? Weil f beschränkt und cos beschränkt sind - man sie also nach oben durch eine Konstante abschätzen kann und eine Konstante geteilt durch einen Faktor, der gegen unendlich geht Null ergibt?
Meine zweite Frage bezieht sich auf (**): Wieso gilt die Abschätzung? Mit der Abschätzung wird ja mehr oder weniger Behauptet, dass falls |f'(t)| < M ist dann auch die Fläche unter f'(t) < M ist. Es wird ja scheinbar cos(Rt) noch irgendwie abgeschätzt, sodass da noch irgendwie |b-a| in der Abschätzung auftaucht. Aber welcher Gedanke dahinter steckt ist mir noch unklar.
Übrigens: Wie macht man mit den Formeln hier im Forum den Strich bei [mm] |^{t=b}_{t=a} [/mm] etwas höher?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Do 14.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich habe einige Fragen zu einem Beweis des Riemann Lemmas.
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> Hier ist es - samt Beweis so wie er mir vorliegt:
>
> Für stetig differenzierbare Funktionen f:[a, b] [mm]\to \IR[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\limes_{R\rightarrow\infty}\integral_{a}^{b}{f(t) sin(Rt) dt}[/mm]
> = 0.
>
> Hier der Beweis:
>
> Mit partieller Integration folgt:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(t) sin(Rt) dt}[/mm] =
> [mm]\frac{-f(t)cos(Rt)}{R} |^{t=b}_{t=a}[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{\frac{f'(t)cos(Rt)}{R} dt}[/mm]
>
> (*) Das ausintegrierte Integral geht gegen 0 für R gegen
> unendlich (a, b fest).
>
> f' ist auf dem kompakten Intervall [a, b] stetig, also
> beschränkt, etwa |f'(t)| < M für alle t [mm]\in[/mm] [a, b].
>
> (**) Damit kann das umgeformte Integral abgeschätzt werden
> durch:
>
> [mm]\left| \integral_{a}^{b}{\frac{f'(t)cos(Rt)}{R}} \right| \le \frac{M|b-a|}{R} \to[/mm]
> 0 für R gegen unendlich.
>
> qed.
>
> Fein.
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> Meine erste Frage bezieht sich auf (*). Wieso geht das
> ausintegrierte Integral geht gegen 0 für R gegen unendlich?
> Weil f beschränkt und cos beschränkt sind - man sie also
> nach oben durch eine Konstante abschätzen kann und eine
> Konstante geteilt durch einen Faktor, der gegen unendlich
> geht Null ergibt?
>
Hallo,
so würde ich auch argumentieren.
> Meine zweite Frage bezieht sich auf (**): Wieso gilt die
> Abschätzung? Mit der Abschätzung wird ja mehr oder weniger
> Behauptet, dass falls |f'(t)| < M ist dann auch die Fläche
> unter f'(t) < M ist.
Nein. Die "Höhe" der Fläche unter f'(t) ist überall kleiner M.
Die Fläche liegt also innerhalb eines Rechtecks der Höhe M und der Breite |b-a|
(Intervallbreite) und ist damit kleiner als M*|b-a|.
Es wird ja scheinbar cos(Rt) noch
> irgendwie abgeschätzt,
Irgendwie ist gut. Der Kosinus kann 1 nicht überschreiten.
Ich hoffe, das hilft erstmal. Bin auf dem Gebiet nicht so sicher in der Materie.
Viele Grüße
Abakus
> sodass da noch irgendwie |b-a| in
> der Abschätzung auftaucht. Aber welcher Gedanke dahinter
> steckt ist mir noch unklar.
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> Übrigens: Wie macht man mit den Formeln hier im Forum den
> Strich bei [mm]|^{t=b}_{t=a}[/mm] etwas höher?
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