Richtungsfeld der Differential < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | Skizzieren Sie das Richtungsfeld für die Differentialgleichung
a) y´(x) = - y(x) + 1 im Rechteck -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 , -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le1 [/mm] ,
b) y'(x) = x [mm] \sqrt{1 - y^{2} (x)} [/mm] im Rechteck -3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3 , -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1 . |
a) $y´(x) = - y(x) + 1$
Da habe ich folgendes errechnet:
$y(x) = [mm] c_1 e^{-x}+1$ [/mm] ?
b) Wie muss ich da dran gehen?
Wie kann man das Richtungsfeld in Mathematica anzeigen?
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> Skizzieren Sie das Richtungsfeld für die
> Differentialgleichung
> a) y´(x) = - y(x) + 1 im Rechteck -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 , -1 [mm]\le[/mm]
> y [mm]\le1[/mm] ,
> b) y'(x) = x [mm]\sqrt{1 - y^{2} (x)}[/mm] im Rechteck -3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm]
> 3 , -1 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1 .
> a) y´(x) = - y(x) + 1
>
> Da habe ich folgendes errechnet:
> [mm]y(x) = c_1 e^{-x}+1[/mm] ?
Diese Funktionen sind Lösungsfunktionen der DGL.
Das war aber gar nicht gefragt, sondern nur das
Zeichnen des Richtungsfeldes.
> b) Wie muss ich da dran gehen?
Man kann sich geometrisch oder mittels Wertetabellen
zurechtlegen, wie die Steigungen von x und y abhängen.
Die Formel dazu ist ja gegeben. Und dann eine geeignete
Schar von Richtungsstrichlein einzeichnen.
> Wie kann man das Richtungsfeld in Mathematica anzeigen?
Dies ist ziemlich sicher möglich. Ich würde jetzt mal im
Index von Mathematica das Stichwort "Differential
Equations" suchen ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
a)
[Dateianhang nicht öffentlich]
b)
[Dateianhang nicht öffentlich]
??
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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hallo n0000b,
die Grafiken, die du da reingestellt hast, sind keine
"Richtungsfelder" im eigentlichen Sinn, sondern eine
Schar von Lösungskurven bzw. eine einzelne Kurve,
bei der es sich übrigens nicht um eine Lösungs-
kurve der entsprechenden DGL handeln kann ...
Die grafische Methode mit den Richtungsfeldern ist
dazu gedacht, sich einen Überblick über mögliche
Lösungskurven und womöglich eine Vermutung für
deren Gleichungen zu verschaffen, bevor man
die DGL überhaupt gelöst hat, und auch dann, wenn
es gar nicht gelingt, eine DGL formal zu lösen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Also ich denke, das es damit geht:
Needs["VectorFieldPlots`"]
VectorFieldPlot[{??}, {x, -1, 2}, {y, -1, 1}]
Was muss da rein?
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> Also ich denke, das es damit geht:
>
> Needs["VectorFieldPlots'"]
> VectorFieldPlot[{??}, {x, -1, 2}, {y, -1, 1}]
>
> Was muss da rein?
Versuche es mal mit [mm] \{1,1-y\}
[/mm]
Du kannst aber z.B. die Länge der Striche auf 1 normieren
mit
[mm] $\{\bruch{1}{\sqrt{1+(1-y)^2}}\ ,\ \bruch{1-y}{\sqrt{1+(1-y)^2}}\}$
[/mm]
Ich habe festgestellt, dass ich das Ganze mit meiner
Mathematica-Version wohl doch nicht testen kann,
aber möglicherweise habe ich etwas übersehen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:48 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Super, danke.
Trotzdem hätte es mich interessiert, wie es in Mathematica funktioniert.
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Hallo,
mein eigenes Programm für Richtungsfelder liefert
folgende Bilder:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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http://www.ateus.ch/Scd/MathApplets/RtgFeld.htm