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| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR^2 [/mm] → [mm] \IR [/mm] gegeben durch
f(n)= [mm] \begin{cases} 1, y-1=(x-1)^2 >0 \\ 0, sonst \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
Alle Richtungsableitungen von f in [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] existieren. |
Hallo erstmal! :)
Bisher bin ich leider noch nicht sehr weit gekommen, Idee ist einen beliebigen Vektor v zu nehmen und zu zeigen, dass die Richtungsableitung existiert:
Definition Richtungsableitung:
[mm] \partial_{v} [/mm] f(1,1)
= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f((1,1)+h*v)-f(1,1)}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f((1,1)+h*v)-0}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f((1,1)+h*v)}{h}
[/mm]
So, und jetzt weiß ich nicht wirklich weiter.
Als Idee habe ich, dass f((x,y)) ja nur 1 oder 0 annehmen kann, sollte es 0 sein, kann man l'Hospital anwenden. Aber wie sieht das bei 1 aus?
Wäre lieb, wenn mir jemand einen Tipp geben kann, bzw. sagen kann, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin.
Liebe Grüße,
d.be
Ach ja, möglich wäre ja auch zu zeigen, dass f in (1,1) diffbar ist, daraus folgt dann ja, dass in (1,1) alle Richtungsableitungen existieren, oder?
Das klingt mir allerdings nach zu viel Aufwand und dass f diffbar ist wird auch erst im zweiten Aufgabenteil explizit zu zeigen sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] $v=(v_1,v_2)$, [/mm] so mußt Du also
[mm] f(1+hv_1,1+hv_2)
[/mm]
berechnen. . Mit y:= [mm] 1+hv_2 [/mm] und x:= [mm] 1+hv_1 [/mm] überlege Dir ob
[mm] y-1=(x-1)^2>0 [/mm]
eintreten kann.
FRED
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Dann ist [mm] f(1+hv_1 [/mm] , [mm] 1+hv_2 [/mm] ) genau dann 1, wenn [mm] h*v_2 [/mm] = [mm] h^2*v_1^2 [/mm] , [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 \not= [/mm] 0 gilt, oder?
und 0 sonst.
Ich hab aber leider immer noch keine Idee, was ich damit dann anfangen soll. :(
Fallunterscheidung wäre jetzt möglich, aber was fange ich dann mit [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{1}{h} [/mm] an?
Ich glaube man merkt schon, dass mir das mit dem mehrdimensionalen Differenzieren noch etwas schwer fällt, sorry . :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dann ist [mm]f(1+hv_1[/mm] , [mm]1+hv_2[/mm] ) genau dann 1, wenn [mm]h*v_2[/mm] =
> [mm]h^2*v_1^2[/mm] , [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2 \not=[/mm] 0 gilt, oder?
Ja, kürz doch mal ein h raus, dann siehst Du, dass in diesem Fall [mm] v_2 [/mm] von h abhängt ! Kann das sein ?
FRED
>
> und 0 sonst.
>
> Ich hab aber leider immer noch keine Idee, was ich damit
> dann anfangen soll. :(
> Fallunterscheidung wäre jetzt möglich, aber was fange
> ich dann mit [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{1}{h}[/mm] an?
>
> Ich glaube man merkt schon, dass mir das mit dem
> mehrdimensionalen Differenzieren noch etwas schwer fällt,
> sorry . :(
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Da h gegen 0 laufen soll, darf das vermutlich nicht sein. :)
Kann ich daraus dann schon schließen, dass die Richtungsableitungen nicht existieren? Wäre dann ja doch sehr simpel gewesen... -.-"
Danke schonmal für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Da h gegen 0 laufen soll, darf das vermutlich nicht sein.
> :)
> Kann ich daraus dann schon schließen, dass die
> Richtungsableitungen nicht existieren?
Nein !
Es ist
$ [mm] f(1+hv_1,1+hv_2)=0 [/mm] $
FRED
> Wäre dann ja doch
> sehr simpel gewesen... -.-"
>
> Danke schonmal für deine Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Di 07.06.2011 | | Autor: | Dominik.be |
Arghs, na klar... ok, dann bekomm ich das jetzt hin. Oh man, nicht meine Woche... Vielen vielen Dank! :)
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