Richtung der Höhenlinie < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Do 26.06.2014 | | Autor: | piriyaie |
Hallo,
angenommen ich habe eine Funktion f: [mm] \IR^{2} \rightarrow \IR.
[/mm]
Desweiteren angenommen ich habe den gradf(x;y) bereits bestimmt an einem Punkt [mm] P_{0}.
[/mm]
Nun möchte ich die Richtung der Höhenlinie im Punkt [mm] P_{0} [/mm] angeben. Wie mache ich das?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Do 26.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Der Gradient gibt Dir die Richtung des steilsten Anstiegs. Gehst Du in diese Richtung, geht es bergauf (oder bergab). Gehst Du in die entgegengesetzte Richtung, geht es bergab (oder bergauf). Naja, Anstieg Null gibt es auch noch, den lassen wir erst einmal weg.
Nun gehe mal von dem Punkt aus in andere Richtungen auf der Fläche. Geht es da mehr oder weniger steil lang? Da könntest Du schon zu einer Idee kommen.
Stell Dir eine Berührebene in dem Punkt [mm] $P_0$ [/mm] vor. Wie liegt der Gradient zu dieser Ebene, wie die Höhenlinie?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:55 Fr 27.06.2014 | | Autor: | piriyaie |
Hallo. Danke für deine Antwort.
Ich weis, dass der richtungsvektor von der Höhenlinie am Punkt [mm] P_{0} [/mm] orthogonal zum gradienten ist. Aber ich weiß nicht wie ich den bestimme. Lineare Algebra hatte ich vor 2 Jahren :-(
Danke schonmal.
Grüße Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Fr 27.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo. Danke für deine Antwort.
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> Ich weis, dass der richtungsvektor von der Höhenlinie am
> Punkt [mm]P_{0}[/mm] orthogonal zum gradienten ist. Aber ich weiß
> nicht wie ich den bestimme. Lineare Algebra hatte ich vor 2
> Jahren :-(
Sei [mm] grad(P_0)=(a_1,a_2). [/mm] Sei [mm] v=(v_1,v_2) [/mm] ein Vektor, der orthogonal zu [mm] grad(P_0) [/mm] ist. Dann hat das Skalarprodukt von [mm] (a_1,a_2) [/mm] und [mm] (v_1,v_2) [/mm] den Wert 0, also
(*) [mm] a_1v_1+a_2v_2=0.
[/mm]
Nun überlege Dir, dass (*) genau dann gilt, wenn es ein $t [mm] \in \IR$ [/mm] gibt mit
$ [mm] v=t*(a_2,-a_1)$
[/mm]
FRED
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> Danke schonmal.
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> Grüße Ali
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