Restklassenring nullteiler/pri < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Di 12.04.2016 | | Autor: | fugit |
| Aufgabe | Für $m [mm] \in \IZ, [/mm] m>0$ sei [mm] $\IZ/m\IZ:=\{a+m\IZ| a \in \IZ \}$ [/mm] der Restklassenring modulo dem Ideal [mm] $m\IZ$. [/mm] Zeigen sie:
$a) [mm] \IZ/m\IZ [/mm] $ ist ein Integritätsbereich,genau dann wenn $m$ eine primzahl ist.
$b)$ Jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0 $ in [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] ist entweder eine Einheit oder Nullteiler.(Dies gilt allgemein für endliche kommutative Ringe).
$c)$ Bestimmen sie die Einehitengruppen von [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] für $m = 1,3,4,6,15,25$ |
Aufgabe
$a) [mm] \IZ/m\IZ [/mm] $ ist ein Integritätsbereich [mm] $\gdw [/mm] m$ eine primzahl ist.
[mm] $"\Rightarrow"$
[/mm]
Hinrichtung beweis per Widerspruch
Angenommen [mm] $\IZ/m\IZ [/mm] $ ist kein Integritätsbereich ,d.h. es ist nicht Nullteilerfrei,dann existiert $ [mm] a\cdot{}b=0$ [/mm] mit $ a,b [mm] \in \IZ/m\IZ [/mm] $
dann gibt es [mm] k\in \IZ [/mm] mit $ [mm] a\cdot{}b=k\codt{}m$ [/mm] mit m [mm] \in \IP. [/mm] Das hier versteh ich irgendwie nicht,ich hab das heute in der Uni von 'nem Komilitonen gesagt bekommen,aber ich komm irgendwie nicht weiter..:/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Mi 13.04.2016 | | Autor: | hippias |
> Für [mm]m \in \IZ, m>0[/mm] sei [mm]\IZ/m\IZ:=\{a+m\IZ| a \in \IZ \}[/mm]
> der Restklassenring modulo dem Ideal [mm]m\IZ[/mm]. Zeigen sie:
>
> [mm]a) \IZ/m\IZ[/mm] ist ein Integritätsbereich,genau dann wenn [mm]m[/mm]
> eine primzahl ist.
>
>
> [mm]b)[/mm] Jedes Element [mm]\neq 0[/mm] in [mm]\IZ/m\IZ[/mm] ist entweder eine
> Einheit oder Nullteiler.(Dies gilt allgemein für endliche
> kommutative Ringe).
>
> [mm]c)[/mm] Bestimmen sie die Einehitengruppen von [mm]\IZ/m\IZ[/mm] für [mm]m = 1,3,4,6,15,25[/mm]
>
>
> Aufgabe
>
> [mm]a) \IZ/m\IZ[/mm] ist ein Integritätsbereich [mm]\gdw m[/mm] eine
> primzahl ist.
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
>
> Hinrichtung beweis per Widerspruch
>
> Angenommen [mm]\IZ/m\IZ[/mm] ist kein Integritätsbereich ,d.h. es
> ist nicht Nullteilerfrei,dann existiert [mm]a\cdot{}b=0[/mm] mit
> [mm]a,b \in \IZ/m\IZ[/mm]
Das ist nicht die Definition eines Nullteilers; da musst Du genauer arbeiten.
>
> dann gibt es [mm]k\in \IZ[/mm] mit [mm]a\cdot{}b=k\codt{}m[/mm] mit m [mm]\in \IP.[/mm]
> Das hier versteh ich irgendwie nicht,ich hab das heute in
> der Uni von 'nem Komilitonen gesagt bekommen,aber ich komm
> irgendwie nicht weiter..:/
>
Das obige ist so nicht richtig, denn es geht hier ersteinmal um Elemente des Rings [mm] $\IZ/m\IZ$, [/mm] also Restklassen.
Seien also [mm] $X,Y\in \IZ/m\IZ$ [/mm] so, dass [mm] $X\cdot [/mm] Y=0$ und [mm] $X,Y\neq [/mm] 0$ gilt. Seien [mm] $a\in [/mm] X$ und [mm] $b\in [/mm] Y$, so dass $X= [mm] a+m\IZ$ [/mm] und $Y= [mm] b+m\IZ$ [/mm] gilt.
Nun folgt aus der Definition der Multiplikation für Restklassen, dass [mm] $X\cdot [/mm] Y= ab+ [mm] m\IZ$ [/mm] ist. Da dies nach Annahme gleich der Restklasse [mm] $0+m\IZ$= m\IZ$ [/mm] ist, folgt die Existenz eines [mm] $k\in\IZ$ [/mm] mit $ab= km$, nämlich so: wegen $ab= [mm] ab+m\cdot [/mm] 0$ ist [mm] $ab\in X\cdot [/mm] Y= [mm] m\IZ$, [/mm] welche letztere Menge nach Definition gleich [mm] $\{mk|k\in \IZ\}$ [/mm] ist.
Nun benutze die Definition einer Primzahl, um auf den Widerspruch zur Annahme $X, [mm] Y\neq [/mm] 0$ zu kommen.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 13.04.2016 | | Autor: | fugit |
a)
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
seien ,wie du vorgeschlagen hast, $ X ,Y [mm] \in \IZ/m\IZ, X=a+m\IZ,Y=b+m\IZ$
[/mm]
mit [mm] $X\cdot{}Y=a\cdot{}b+m\IZ$.
[/mm]
Angenommen [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] ist nicht nullteilerfrei,dann gibt es [mm] $a\cdot{}b=0$.
[/mm]
Diese Annahme benutze ich jetzt
[mm] $X\cdot{}Y=a\cdot{}b+m\IZ=0+m\IZ= m\IZ$
[/mm]
also [mm] $a\cdot{}b=m\IZ [/mm] $ oder anders [mm] $a\cdot{}b=mk$ [/mm] mit $ k [mm] \in \IZ$
[/mm]
$m$ ist primelement [mm] $\gdw [/mm] m|ab [mm] \Rightarrow [/mm] m|a$ oder $m|b $. Daraus folgt mit obiger Überlegung ,dass [mm] $a\neq [/mm] 0$ oder [mm] $b\neq [/mm] 0$ , das ist aber ein Widerspruch zur Annahme,dass es Nullteiler gibt ,daraum muss [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] nullteilerfrei sein,wenn m prim ist.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
$m$ ist prim ,dass heißt $m|ab [mm] \gdw [/mm] ab=mk$ mit $k [mm] \in \IZ$ [/mm] das ist aber gleich zu $m|ab [mm] \gdw [/mm] ab=mk =m [mm] \IZ$ [/mm] per definition.
das heißt [mm] $ab+m\IZ=0+m\IZ$ [/mm] also $ab=0$
Außerdem interpretiert aus der Definition des Nullteiler mit $ X,Y [mm] \in \IZ/m\IZ [/mm] $ ,so muss [mm] $Y\neq [/mm] 0 , X=0$ sein , damit X*Y=0 gilt .Aber wenn m|ab teilt kommt ,die primzahl $m$ als Faktor in $a$ oder $b$ vor deshalb folgt daraus $a [mm] \neq [/mm] 0$ oder $b [mm] \neq [/mm] 0$,so mit ist [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] nullteilerfrei .
q.e.d
Ich hoffe, der Beweis ist soweit richtig und hoffe,dass du mich korrigierst ,wenn es Fehler geben sollte
b) [mm] $\IZ/m\IZ [/mm] $ ,d.h. es gibt eine Abbildung $ f: [mm] \IZ/m\IZ \to \IZ/m\IZ$ [/mm] ,die injektiv $ [mm] \gdw$ [/mm] surjektiv $ [mm] \gdw$ [/mm] bijektiv ist,wenn beide Megen die gleiche Kardinalität haben
1. Beweis
Sei $x [mm] \in \IZ/m\IZ [/mm] $ keine Einheit.
Betrachtet man die Abbildung $f: [mm] \IZ/m\IZ \to \IZ/m\IZ [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] ax $ , da $x$ keine einheit gilt für alle $y [mm] \in \IZ/m\IZ [/mm] : xy=yx [mm] \neq [/mm] 1$ , da kommutativer Ring,d.h $f$ ist nicht surjektiv,da $1$ kein Urbild hat,somit auch nicht injektiv, somit gibt es [mm] $y_1,y_2 \in \IZ/m\IZ [/mm] $ mit [mm] $y_1 \neq y_2$ [/mm] ,dann gibt es mit $y_1x=y_2x [mm] \gdw (y_1-y_2)x=0 \Rightarrow [/mm] x$ ist nullteiler.
Sei $x [mm] \in \IZ/m\IZ [/mm] $ kein Nullteiler
Betrachtet man die Abbildung $f: [mm] \IZ/m\IZ \to \IZ/m\IZ [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] ax $
ist f injektiv ,denn [mm] $y_1,y_2 \in \IZ/m\IZ [/mm] $ mit [mm] $y_1 \neq y_2$ $y_1*x=y_2*x \gdw (y_1-y_2)*x [/mm] =0 [mm] \Rightarow y_1=y_2 [/mm] , da x [mm] \neq [/mm] 0 $.
somit ist $f$ auch surjektiv ,das heißt insbesondere die $1$ hat ein Urbild ,also muss gelten $x*y=1$ mit $y [mm] \in \IZ/m\IZ [/mm] $,somit ist $x$ Einheit.
hoffe,dass das auch so passt.
$c) $
wie gehe ich hier vor?
zusätzlich frage: wie haben die gleiche Aufgabenstellung für ein [mm] $f(x)\in [/mm] K[x]$,darf ich das auch posten,wenn wir das durch haben? zur überprüfung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mi 13.04.2016 | | Autor: | hippias |
> a)
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
>
> seien ,wie du vorgeschlagen hast, [mm]X ,Y \in \IZ/m\IZ, X=a+m\IZ,Y=b+m\IZ[/mm]
>
> mit [mm]X\cdot{}Y=a\cdot{}b+m\IZ[/mm].
>
> Angenommen [mm]\IZ/m\IZ[/mm] ist nicht nullteilerfrei,dann gibt es
> [mm]a\cdot{}b=0[/mm].
Nein. Wie es richtig heissen muss, habe ich Dir doch geschrieben.
>
> Diese Annahme benutze ich jetzt
>
> [mm]X\cdot{}Y=a\cdot{}b+m\IZ=0+m\IZ= m\IZ[/mm]
>
> also [mm]a\cdot{}b=m\IZ[/mm] oder anders [mm]a\cdot{}b=mk[/mm] mit [mm]k \in \IZ[/mm]
Keinesfalls ist $ab$ gleich der Menge [mm] $m\IZ$.
[/mm]
>
> [mm]m[/mm] ist primelement [mm]\gdw m|ab \Rightarrow m|a[/mm] oder [mm]m|b [/mm].
> Daraus folgt mit obiger Überlegung ,dass [mm]a\neq 0[/mm] oder
> [mm]b\neq 0[/mm] , das ist aber ein Widerspruch zur Annahme,dass es
> Nullteiler gibt ,daraum muss [mm]\IZ/m\IZ[/mm] nullteilerfrei
> sein,wenn m prim ist.
Das ist doch gar nicht das, was Du zeigen wolltest. Es geht um [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] nullteilerfrei [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $m$ prim per Widerspruch. Also nimmst Du an, dass [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] nullteilerfrei ist, aber $m$ ist nicht prim. Dann suchst Du einen Widerspruch.
Du obigen Überlegungen passen zu $m$ prim [mm] $\Rightarrow$ $\IZ/m\IZ$ [/mm] nullteilerfrei.
Nocheinmal: Du musst hier einen Widerspruch ableiten. Das gelingt, indem Du zeigst, dass entgegen der Annahme $X=0$ oder $Y=0$ folgt.
Vielleicht ist ein Beispiel illustrativ. Nimm einmal $m=6$ und finde zwei Restklassen [mm] $X,Y\in \IZ/m\IZ$, [/mm] die beide [mm] $\neq [/mm] 0$ sind, aber für die $XY=0$ ist. Wenn Dir das gelingt, dann kannst Du die Überlegungen sicherlich verallgemeinern.
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>
>
> [mm]m[/mm] ist prim ,dass heißt [mm]m|ab \gdw ab=mk[/mm]
Nein, das heisst es nicht. Oben hast Du die Definition einer Primzahl noch richtig widergegeben.
> mit [mm]k \in \IZ[/mm] das
> ist aber gleich zu [mm]m|ab \gdw ab=mk =m \IZ[/mm] per definition.
Nein.
>
> das heißt [mm]ab+m\IZ=0+m\IZ[/mm] also [mm]ab=0[/mm]
>
> Außerdem interpretiert aus der Definition des Nullteiler
> mit [mm]X,Y \in \IZ/m\IZ[/mm] ,so muss [mm]Y\neq 0 , X=0[/mm] sein ,
Das ist völlig unverständlich.
> damit
> X*Y=0 gilt .Aber wenn m|ab teilt kommt ,die primzahl [mm]m[/mm] als
> Faktor in [mm]a[/mm] oder [mm]b[/mm] vor deshalb folgt daraus [mm]a \neq 0[/mm] oder
> [mm]b \neq 0[/mm],so mit ist [mm]\IZ/m\IZ[/mm] nullteilerfrei .
>
Ich muss leider sagen, dass ich den zweiten Beweisteil gar nicht verstehe.
Ich mache den Anfang. Sei $m$ eine Primzahl und seien [mm] $X,Y\in \IZ/m\IZ$ [/mm] mit [mm] $X\cdot [/mm] Y=0$. Zu zeigen ist, dass $X=0$, also $X= [mm] m\IZ$, [/mm] oder $Y=0$ ist.
Seien wieder [mm] $a\in [/mm] X$ und [mm] $b\in [/mm] Y$, sodass [mm] $X\cdot [/mm] Y= [mm] ab+m\IZ$ [/mm] ist.
Also: wie folgt aus $X= [mm] a+m\IZ$ [/mm] und $Y= [mm] b+m\IZ$ [/mm] und $m|ab$, $m$ prim, dass $X=0$, also [mm] $X=m\IZ$ [/mm] oder $Y=0$?
> q.e.d
>
>
> Ich hoffe, der Beweis ist soweit richtig und hoffe,dass du
> mich korrigierst ,wenn es Fehler geben sollte
>
>
> b) [mm]\IZ/m\IZ[/mm] ,d.h. es gibt eine Abbildung [mm]f: \IZ/m\IZ \to \IZ/m\IZ[/mm]
Das ist unverständlich.
> ,die injektiv [mm]\gdw[/mm] surjektiv [mm]\gdw[/mm] bijektiv ist,wenn
> beide Megen die gleiche Kardinalität haben
>
> 1. Beweis
>
> Sei [mm]x \in \IZ/m\IZ[/mm] keine Einheit.
>
> Betrachtet man die Abbildung [mm]f: \IZ/m\IZ \to \IZ/m\IZ , x \mapsto ax[/mm]
> , da [mm]x[/mm] keine einheit gilt für alle [mm]y \in \IZ/m\IZ : xy=yx \neq 1[/mm]
> , da kommutativer Ring,d.h [mm]f[/mm] ist nicht surjektiv,da [mm]1[/mm] kein
> Urbild hat,somit auch nicht injektiv, somit gibt es [mm]y_1,y_2 \in \IZ/m\IZ[/mm]
> mit [mm]y_1 \neq y_2[/mm] ,dann gibt es mit [mm]y_1x=y_2x \gdw (y_1-y_2)x=0 \Rightarrow x[/mm]
> ist nullteiler.
>
> Sei [mm]x \in \IZ/m\IZ[/mm] kein Nullteiler
>
> Betrachtet man die Abbildung [mm]f: \IZ/m\IZ \to \IZ/m\IZ , x \mapsto ax[/mm]
>
> ist f injektiv ,denn [mm]y_1,y_2 \in \IZ/m\IZ[/mm] mit [mm]y_1 \neq y_2[/mm]
> [mm]y_1*x=y_2*x \gdw (y_1-y_2)*x =0 \Rightarow y_1=y_2 , da x \neq 0 [/mm].
>
> somit ist [mm]f[/mm] auch surjektiv ,das heißt insbesondere die [mm]1[/mm]
> hat ein Urbild ,also muss gelten [mm]x*y=1[/mm] mit [mm]y \in \IZ/m\IZ [/mm],somit
> ist [mm]x[/mm] Einheit.
>
> hoffe,dass das auch so passt.
Ja.
>
>
> [mm]c)[/mm]
> wie gehe ich hier vor?
>
>
> zusätzlich frage: wie haben die gleiche Aufgabenstellung
> für ein [mm]f(x)\in K[x][/mm],darf ich das auch posten,wenn wir das
> durch haben? zur überprüfung?
Das kannst Du gerne machen. Es wäre gut, wenn Du dafür einen neuen Thread aufmachst, damit nachfolgende Suchende leichter eine Hilfestellung finden.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 14.04.2016 | | Autor: | fugit |
1) [mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Beweis per widerspruch:
Seien also $ [mm] X,Y\in \IZ/m\IZ [/mm] $ so, dass $ [mm] X\cdot [/mm] Y=0 $ und $ [mm] X,Y\neq [/mm] 0 $ gilt. Seien $ [mm] a\in [/mm] X $ und $ [mm] b\in [/mm] Y $, so dass $ X= [mm] a+m\IZ [/mm] $ und $ Y= [mm] b+m\IZ [/mm] $ gilt.
Nun folgt aus der Definition der Multiplikation für Restklassen, dass $ [mm] $X\cdot [/mm] $ Y= ab+ $ [mm] m\IZ$ [/mm] $ ist. Da dies nach Annahme gleich der Restklasse [mm] $$0+m\IZ$= m\IZ$ [/mm] ist, folgt die Existenz eines [mm] $k\in\IZ$ [/mm] mit $ab= km$, nämlich so: wegen $ab= [mm] ab+m\IZ [/mm] = 0$ ist [mm] $ab\in X\cdot{}Y= m\IZ$, [/mm] welche letztere Menge nach Definition gleich [mm] $\{mk|k\in \IZ\}$ [/mm] ist.
ist m keine primzahl , lässt sich m darstellen als $m=ab$ mit [mm] $1\le [/mm] a,b<m $,also
[mm] $X*Y=ab+m\IZ =m\IZ= 0+m\IZ,$ [/mm] jedoch ist jetzt per Annahme $X,Y [mm] \neq [/mm] 0$ .
Daraus folgt ,dass es kein Integritätsring mehr ist,also muss m prim sein.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Sei $ m $ eine Primzahl und seien $ [mm] X,Y\in \IZ/m\IZ [/mm] $ mit $ [mm] X\cdot [/mm] Y=0 $. Zu zeigen ist, dass $ X=0 $, also $ X= [mm] m\IZ [/mm] $, oder $ Y=0 $ ist.
Seien wieder $ [mm] a\in [/mm] X $ und $ [mm] b\in [/mm] Y $, sodass $ [mm] X\cdot [/mm] Y= [mm] ab+m\IZ [/mm] $ ist.
$m$ ist eine primzahl [mm] $\gdw [/mm] m|ab [mm] \Rightarrow [/mm] m|a $ oder $m|b$
ist jetzt [mm] $X*Y=a*b+m\IZ=0+m\IZ$
[/mm]
wenn m das produkt aus $a*b$ teil dann muss in $a$ oder $b$ , $m$ als primfaktor drin sein ,daraus folgt ,dass $a=0$ oder $b=0$ ,also gibt es keine Nullteiler
Sorry,wenn irgendwas falsch sein sollte,ich habe versucht genau das zu befolgen,was du mir gesagt hast und ich hoffe ich habe das auch getan. sorry wenn nicht..:/
$c)$ ich hab da was gefunden
$a$ Einheit in [mm] $\IZ/m\IZ \gdw [/mm] ggt(a,n)=1$
aber ich komm nicht wirklich weiter..:/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Fr 15.04.2016 | | Autor: | hippias |
> 1) "[mm]\Rightarrow[/mm]"
> Beweis per widerspruch:
>
>
> Seien also [mm]X,Y\in \IZ/m\IZ[/mm] so, dass [mm]X\cdot Y=0[/mm] und [mm]X,Y\neq 0[/mm]
> gilt. Seien [mm]a\in X[/mm] und [mm]b\in Y [/mm], so dass [mm]X= a+m\IZ[/mm] und [mm]Y= b+m\IZ[/mm]
> gilt.
>
> Nun folgt aus der Definition der Multiplikation für
> Restklassen, dass[mm][/mm][mm] X\cdot[/mm] [mm]Y= ab+[/mm] [mm]m\IZ[/mm][mm][/mm] ist. Da dies nach
> Annahme gleich der Restklasse[mm][/mm][mm] 0+m\IZ[/mm] [mm]= m\IZ[/mm] ist, folgt die
> Existenz eines [mm]k\in\IZ[/mm] mit [mm]ab= km[/mm], nämlich so: wegen [mm]ab= ab+m\IZ = 0[/mm]
> ist [mm]ab\in X\cdot{}Y= m\IZ[/mm], welche letztere Menge nach
> Definition gleich [mm]\{mk|k\in \IZ\}[/mm] ist.
>
> ist m keine primzahl , lässt sich m darstellen als [mm]m=ab[/mm]
> mit [mm]1\le a,b
>
> [mm]X*Y=ab+m\IZ =m\IZ= 0+m\IZ,[/mm] jedoch ist jetzt per Annahme [mm]X,Y \neq 0[/mm]
> .
Das ist noch etwas ungeschickt formuliert. Ich schlage dies vor: Sei $m$ nicht prim. Dann gibt es [mm] $1\leq [/mm] a,b<m$ mit $m= ab$. Nun sei $X$ die Restklasse, die $a$, und $Y$ die Restklasse, die $b$ enthält. Dann gilt $XY= [mm] ab+m\IZ=0$, [/mm] aber [mm] $X,Y\neq [/mm] 0$.
Wobei, je nach Strenge des Korrektors, man $X, [mm] Y\neq m\IZ$ [/mm] auch noch begründen könnte.
>
> Daraus folgt ,dass es kein Integritätsring mehr ist,also
> muss m prim sein.
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>
> Sei [mm]m[/mm] eine Primzahl und seien [mm]X,Y\in \IZ/m\IZ[/mm] mit [mm]X\cdot Y=0 [/mm].
> Zu zeigen ist, dass [mm]X=0 [/mm], also [mm]X= m\IZ [/mm], oder [mm]Y=0[/mm] ist.
>
> Seien wieder [mm]a\in X[/mm] und [mm]b\in Y [/mm], sodass [mm]X\cdot Y= ab+m\IZ[/mm]
> ist.
>
> [mm]m[/mm] ist eine primzahl [mm]\gdw m|ab \Rightarrow m|a[/mm] oder [mm]m|b[/mm]
>
> ist jetzt [mm]X*Y=a*b+m\IZ=0+m\IZ[/mm]
>
> wenn m das produkt aus [mm]a*b[/mm] teil dann muss in [mm]a[/mm] oder [mm]b[/mm] , [mm]m[/mm]
> als primfaktor drin sein ,daraus folgt ,dass [mm]a=0[/mm] oder [mm]b=0[/mm]
> ,also gibt es keine Nullteiler
Nein! Nicht $a=0$ oder $b=0$, sondern $X=0$ oder $Y=0$! Das hatten wir schon einmal im ersten Post. Nur zur Sicherheit mache Dir genau klar, dass [mm] $a+m\IZ= m\IZ$ [/mm] genau dann gilt, wenn $m|a$ gilt.
>
>
> Sorry,wenn irgendwas falsch sein sollte,ich habe versucht
> genau das zu befolgen,was du mir gesagt hast und ich hoffe
> ich habe das auch getan. sorry wenn nicht..:/
>
>
> [mm]c)[/mm] ich hab da was gefunden
>
> [mm]a[/mm] Einheit in [mm]\IZ/m\IZ \gdw ggt(a,n)=1[/mm]
>
> aber ich komm nicht wirklich weiter..:/
Du musst besser zwischen ganzen Zahlen $a$ und der Restklasse [mm] $a+m\IZ$, [/mm] die $a$ enthält, unterscheiden. Daher: Die Restklasse [mm] $a+m\IZ$ [/mm] ist im [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] intertierbar [mm] $\iff$ $\gcd(a,m)=1$.
[/mm]
Nehmen wir an $m=8$. Die zu $m$ teilerfremden Zahlen, die kleiner als $m$ sind, sind $1$, $3$, $5$ und $7$. Damit sind die Resklassen [mm] $1+8\IZ$, $3+8\IZ$, $5+8\IZ$ [/mm] und [mm] $7+8\IZ$ [/mm] im Ring [mm] $\IZ/8\IZ$ [/mm] (multiplikativ) invertierbar. Mache Dir klar, dass wenn [mm] $a\in \IZ$ [/mm] ist so, dass [mm] $\gcd(a,8)=1$ [/mm] gilt, dann liegt $a$ in einer der $4$ Restklassen. Daher bilden [mm] $1+8\IZ$, $3+8\IZ$, $5+8\IZ$ [/mm] und [mm] $7+8\IZ$ [/mm] die Gesamtheit aller invertierbaren Elemente.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Sa 16.04.2016 | | Autor: | fugit |
Dank dir vielmals für deine Hilfe
ein mitstudent und ich haben die Aufgabe mit deiner Hilfe ziemlich gut bearbeiten können dank dir:)
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