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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Di 18.08.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
ich arbeite gerade mein Skript durch und komme an dieser Stelle nicht weiter: es geht um Ideale, Ringe und Restklassenringe. Das ist für mich noch Neuland...
Folgendes steht im Skript:
" Sei A Ring, I [mm] \subseteq [/mm] A Ideal von A. Wir konstruieren den Restklassenring A/I. Dazu definiere für a,b [mm] \in [/mm] A: a [mm] \equiv [/mm] b (modI) [mm] :\gdw [/mm] a-b [mm] \in [/mm] I ("a ist kongruent zu b modulo I"). Es sei A/I die Menge aller Äquivalenzklassen [mm] a+I=\{a+l : l \in I \} [/mm] der Elemente a [mm] \in [/mm] A. Wir definieren auf A/I eine Ringstruktur so, dass die Abbildung [mm] \pi [/mm] : A [mm] \to [/mm] A/I, [mm] \pi [/mm] (a) = a + I, ein Ringhomomorphismus wird. Nämlich
+: (a+I) + (b+I) = (a+b)+I
*: (a+I)(b+I)=ab+I
Diese ist wohldefiniert."
meine Fragen dazu:
1. Ich kenne den Ausdruck mod von Teilbarkeit. Teile ich jetzt durch ein Ideal? Kann mir jemand ein Beispiel für so einen Restklassenring nennen?
2. Im Internet lese ich unter Restklassenringe viel über Z/nZ. Wie ist der Zusammenhang von Z/nZ mit unserer Definition?
3. Im Skript steht ...Es sei A/I die Menge aller Äquivalenzklassen... Ist das eine Einschränkung? Ich meine, ist das eine Teilmenge aller Restklassenringe oder werden damit alle Restklassenringe umfasst?
4. Ich habe versucht nachzuweisen, dass [mm] \pi [/mm] ein Ringhomomorphismus ist. Bei der dritten Bedingung habe ich eine Frage: es muss ja gelten [mm] \pi [/mm] (1) = 1. Hier ist dann [mm] \pi [/mm] (1) = 1 + I. Ist dann also die 1 in A/I definiert als 1+I? Und wie kann ich das aus der Definition sehen?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar,
grüße moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Di 18.08.2009 | | Autor: | phrygian |
Hi
bevor ich oder jemand anders auf deine Fragen eingeht: Hast du die Konstruktion von Restklassen mit Normalteilern in der Gruppentheorie verstanden?
Gruß,
phrygian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Di 18.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> 1. Ich kenne den Ausdruck mod von Teilbarkeit. Teile ich
> jetzt durch ein Ideal? Kann mir jemand ein Beispiel für so
> einen Restklassenring nennen?
Was heißt "teilen durch Ideal" in diesem Zusammenhang?
[mm] $a=b\, mod\, [/mm] I$ heißt einfach nichts anderes als [mm] $(a-b)\in [/mm] I$
Das beispiel mit den ganzen Zahlen und den Resten steht weiter unten.
Ansonsten gibt es einige lustige Beispiele. Zum beispiel die reellen Zahlen:
[mm] $\IR$=(Cauchyfolgen [/mm] in [mm] $\IQ$)/(Nullfolgen [/mm] in [mm] $\IQ$)
[/mm]
oder die Komplexen Zahlen:
[mm] $\IC=\IR[X]/$ [/mm] mit $1=1$ und $i=X$.
> 2. Im Internet lese ich unter Restklassenringe viel über
> Z/nZ. Wie ist der Zusammenhang von Z/nZ mit unserer
> Definition?
[mm] $n\IZ$ [/mm] ist ein ideal (denn sind a,b durch n teilbar, ist es auch $a+b$ und $r*a$ wobei [mm] $r\in\IZ$ [/mm] beliebig ist)
Für ganze zahlen schreibt man oft
[mm] $x=y\, mod\, [/mm] n$ statt [mm] $x=y\, mod\, n\IZ$
[/mm]
beides heißt natürlich das gleiche: [mm] $(a-b)\in n\IZ$ [/mm] d.h. $n|(a-b)$
> 3. Im Skript steht ...Es sei A/I die Menge aller
> Äquivalenzklassen... Ist das eine Einschränkung? Ich
> meine, ist das eine Teilmenge aller Restklassenringe oder
> werden damit alle Restklassenringe umfasst?
So ein Restklassenring besteht aus Äquivalenzklassen modulo das Ideal mit den beiden Operationen so wie sie da oben definiert wurden. Da ist nicht von mehreren Ringen die rede, was willst du da einschränken?
> 4. Ich habe versucht nachzuweisen, dass [mm]\pi[/mm] ein
> Ringhomomorphismus ist. Bei der dritten Bedingung habe ich
> eine Frage: es muss ja gelten [mm]\pi[/mm] (1) = 1. Hier ist dann
> [mm]\pi[/mm] (1) = 1 + I. Ist dann also die 1 in A/I definiert als
> 1+I? Und wie kann ich das aus der Definition sehen?
Was ist die "dritte bedingung"? Dass die Eins auf die Eins abgebildet wird?
Ja, die Äquivalenzklasse $1+I$ ist die Eins in $A/I$. Das ist wirklich äußerst einfach, das musst du einfach nur ordentlich hinschreiben.
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