Restklassen finden < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Fr 30.05.2014 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | Finden Sie alle Restklassen (modulo [mm] 5^3 [/mm] ), die die folgende Kongruenz lösen.
[mm] x^3 [/mm] - 52x - 21 ≡ 0 (mod [mm] 5^3) [/mm] |
Ich habe das Henselsches Lemma angewandt und bin zu einer Lösung für [mm] 5^3 [/mm] gekommen. Nämlich 44.
Aber wie finde ich nun alle anderen Restklassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Fr 30.05.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Finden Sie alle Restklassen (modulo [mm]5^3[/mm] ), die die folgende
> Kongruenz lösen.
>
> [mm]x^3[/mm] - 52x - 21 ≡ 0 (mod [mm]5^3)[/mm]
> Ich habe das Henselsches Lemma angewandt und bin zu einer
> Lösung für [mm]5^3[/mm] gekommen. Nämlich 44.
>
> Aber wie finde ich nun alle anderen Restklassen?
Jede Lösung modulo [mm] $5^3$ [/mm] ist auch eine modulo [mm] $5^2$ [/mm] und modulo $5$. Modulo 5 kannst du "durchprobieren", um alle zu finden.
Das Henselsche Lemma sagt zu jeder Lösung modulo 5, wieviele Lösungen es modulo [mm] $5^2$ [/mm] gibt, welche kongruent zu dieser Lösung modulo 5 ist. (Unter bestimmten Bedingungen.) Das gleiche Prozedere liefert zu jeder Lösung modulo [mm] $5^2$, [/mm] wieviele Lösung es modulo [mm] $5^3$ [/mm] gibt die kongruent zu dieser Lösung sind.
LG Felix
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Wie genau sehe ich das denn?
Zu Modulo 5 habe ich die Lösungen
3 und 4 gefunden
[mm] \bruch{f(4)}{5} [/mm] + k*f'(4) = -33-4k
Da das ganze Modulo 5 ist bekomme ich für k = 3 (mod 5)
Wenn ich weiter rechne bekomme ich die Lösung 19 für [mm] 5^2
[/mm]
genauer: [mm] 4+3*5^1
[/mm]
Wie finde ich denn den Rest in [mm] 5^2 [/mm] und woher weiß ich wie viele es sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 01.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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