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| Aufgabe | | Es existiert ein a [mm] \in \IZ/(n) [/mm] mit n [mm] \in \IN>2 [/mm] ,für das es kein b [mm] \in \IZ/(n) [/mm] gibt, so, dass gilt: [mm] a=b^2 [/mm] |
Ich habe mal mehrere [mm] \IZ/(n) [/mm] getestet, und jedesmal hat sich herausgestellt, dass dieses a auf die 2 zutrifft, bei n=7 ging es aber schief. Ich muss laut Aufgabenstellung die Behauptung für ein a beweisen, das für ALLE n [mm] \in \IN>2 [/mm] die Bedingung [mm] x^2 [/mm] modulo n [mm] \ne [/mm] a erfüllt, (für alle x<n) oder?
Über Anregungen würde ich mich freuen =)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Sa 14.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es existiert ein a [mm]\in \IZ/(n)[/mm] mit n [mm]\in \IN>2[/mm] ,für das es
> kein b [mm]\in \IZ/(n)[/mm] gibt, so, dass gilt: [mm]a=b^2[/mm]
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> Ich habe mal mehrere [mm]\IZ/(n)[/mm] getestet, und jedesmal hat
> sich herausgestellt, dass dieses a auf die 2 zutrifft, bei
> n=7 ging es aber schief. Ich muss laut Aufgabenstellung die
> Behauptung für ein a beweisen, das für ALLE n [mm]\in \IN>2[/mm]
> die Bedingung [mm]x^2[/mm] modulo n [mm]\ne[/mm] a erfüllt, (für alle x<n)
> oder?
Nein, du musst zu jedem $n$ ein passendes $a$ finden. Die Aufgabenstellung ist da recht schlecht formuliert.
Das $a$ sollst du uebrigens nicht konkret angeben, es reicht zu beweisen dass es eins gibt.
Tipp dazu: nimm eine Primzahl $p$, die $n$ teilt, und zeige das ganze erst fuer [mm] $\IZ/(p)$. [/mm] Daraus folgere das Ergebnis fuer [mm] $\IZ/(n)$ [/mm] (mit dem gleichen $a$).
Und zu [mm] $\IZ/(p)$: [/mm] setze $G := [mm] \IZ/(p) \setminus \{ 0 \}$ [/mm] und schau die Abbildung $G [mm] \to [/mm] G$, $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] an. Was kannst du ueber sie aussagen? Kann sie surjektiv sein?
LG Felix
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Hey,
um felix Antwort noch kurz zu ergänzen:
Es gibt einen Grund, warum $n>2$ gefordert ist. Wie du vielleicht schon gemerkt hast, geht die Aussage für $n=2$ schief.
Daher kriegst du auch für $p=2$ ein paar Probleme, betrachte den Fall also am besten getrennt.
lg
Schadow
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