Restklassen-Charakter modulo k < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \chi [/mm] ein Restklassen-Charakter modulo k, aber nicht Hauptcharakter. In der Vorlesung wurde gezeigt: Sind [mm] u\leq [/mm] v natuerliche Zahlen, so gilt [mm] |\sum_{n=u}^{v}\chi(n)|\leq [/mm] k. Zeige, dass sogar gilt: [mm] |\sum_{n=u}^{v}\chi(n)|\leq \bruch{1}{2} \phi(k). [/mm] |
Hallo,
Ich habe einen Ansatz, jedoch komme ich einfach nicht weiter. Waere sehr dankbar, wenn man mir helfen koennte!
[mm] |\sum_{n=u}^{v}\chi(n)| [/mm] = [mm] |\sum_{n=u+k}^{v}\chi(n)| [/mm] (Folgerung der Orthogonalitaetsrelation 1)
Jetzt habe ich eine Fallunterscheidung gemacht:
1. Fall: v<u+k
[mm] \Rightarrow |\sum_{n=u}^{v}\chi(n)|= [/mm] 0 < [mm] \bruch{1}{2} \phi(k)
[/mm]
2. Fall: v=u+k
[mm] \Rightarrow |\sum_{n=u}^{v}\chi(n)| [/mm] = [mm] \begin{cases} |\chi(\overline{u+k})| & \mbox = 1 \leq \bruch{1}{2} \phi(k) \\ 0, & \mbox < \bruch{1}{2} \phi(k) \end{cases}
[/mm]
3, Fall: v > u+k
Hier braeuchte ich Hilfe...
Danke!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mi 16.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\chi[/mm] ein Restklassen-Charakter modulo k, aber nicht
> Hauptcharakter. In der Vorlesung wurde gezeigt: Sind [mm]u\leq[/mm]
> v natuerliche Zahlen, so gilt [mm]|\sum_{n=u}^{v}\chi(n)|\leq[/mm]
> k. Zeige, dass sogar gilt: [mm]|\sum_{n=u}^{v}\chi(n)|\leq \bruch{1}{2} \phi(k).[/mm]
>
> Ich habe einen Ansatz, jedoch komme ich einfach nicht
> weiter. Waere sehr dankbar, wenn man mir helfen koennte!
>
> [mm]|\sum_{n=u}^{v}\chi(n)|[/mm] = [mm]|\sum_{n=u+k}^{v}\chi(n)|[/mm]
> (Folgerung der Orthogonalitaetsrelation 1)
Ob das so stimmt kann ich nicht beurteilen. So ganz glauben tu ich es allerdings nicht. Hast du irgendwelche Voraussetzungen weggelassen? Etwa sowas wie $v - u [mm] \ge [/mm] k$?
Wie sah denn der Beweis in der Vorlesung aus? Seid ihr da so aehnlich vorgegangen?
> Jetzt habe ich eine Fallunterscheidung gemacht:
>
> 1. Fall: v<u+k
>
> [mm]\Rightarrow |\sum_{n=u}^{v}\chi(n)|=[/mm] 0 < [mm]\bruch{1}{2} \phi(k)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Fall: v=u+k
> [mm]\Rightarrow |\sum_{n=u}^{v}\chi(n)|[/mm] = [mm]\begin{cases} |\chi(\overline{u+k})| & \mbox = 1 \leq \bruch{1}{2} \phi(k) \\ 0, & \mbox < \bruch{1}{2} \phi(k) \end{cases}[/mm]
Und was ist, wenn [mm] $\phi(k) [/mm] = 1$ ist?
Gibt es eventuell Voraussetzungen an $k$ bzw. [mm] $\phi(k)$, [/mm] die du weggelassen hast?
> 3, Fall: v > u+k
>
> Hier braeuchte ich Hilfe...
Wenn das wirklich so gehen wuerde wie du oben anfaengst: warum wendest du die Orthogonalitaetsrelation 1 nicht nochmal an? Und dann evtl. nochmal? Bis irgenwann einer der obigen Faelle eintritt?
Ansonsten schreib mal genauer was gilt und was nicht.
LG Felix
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Hi felixf,
danke erstmal für deine rasche antwort!
Dass [mm] das|\sum_{n=u}^{v}\chi(n)| [/mm] = [mm] |\sum_{n=u+k}^{v}\chi(n)| [/mm] gilt haben wir in der Vorlesung mit Hilfe der Orthogonalitätsrelation [mm] \sum_{l=1}^{k}\chi(l)=\begin{cases} \phi(k) , & \mbox{für } \chi=\chi0 \\ 0, & \mbox{für } \chi \not= \chi0 \end{cases} [/mm] begründet,
wobei [mm] \chi0 [/mm] der Hauptcharakter ist.
k kann nicht 1 sein, denn laut Voraussetzung (der Aufgabe), soll [mm] \chi [/mm] nicht der Hauptcharakter sein. Das bedeutet wäre k=1 (oder 2), dann wäre [mm] \phi(1)=1 [/mm] und es gäbe nur den Hauptcharakter. Deshalb muss k größer als 2 sein. Oder habe ich mich hier irgendwie vertan?
In der Aufgabe gibt es keine Voraussetzungen an k.
In der Vorlesung haben wir auch so eine Fallunterscheidung gemacht und beim letzten Fall (v > u+k) wurde das mit Induktion bewiesen, was ich allerdings nicht verstehe. Es wurde einfach gesagt, nach Induktion gilt [mm] |\sum_{n=u+k}^{v}\chi(n)| \le [/mm] k.
> Wenn das wirklich so gehen wuerde wie du oben anfaengst:
> warum wendest du die Orthogonalitaetsrelation 1 nicht
> nochmal an? Und dann evtl. nochmal? Bis irgenwann einer der
> obigen Faelle eintritt?
Wie meinst du das? Wie könnte ich die Orthog.relation öfter anwenden bis der 2. Fall eintritt?
Danke....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mi 16.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke erstmal für deine rasche antwort!
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> Dass [mm]das|\sum_{n=u}^{v}\chi(n)|[/mm] =
> [mm]|\sum_{n=u+k}^{v}\chi(n)|[/mm] gilt haben wir in der Vorlesung
> mit Hilfe der Orthogonalitätsrelation
> [mm]\sum_{l=1}^{k}\chi(l)=\begin{cases} \phi(k) , & \mbox{für } \chi=\chi0 \\ 0, & \mbox{für } \chi \not= \chi0 \end{cases}[/mm]
> begründet,
> wobei [mm]\chi0[/mm] der Hauptcharakter ist.
Naja, hierdran siehst du sehr eindeutig, dass $u + k [mm] \le [/mm] v$ gelten muss! Andernfalls kannst du das nicht anwenden.
Dein bisheriger Ansatz ist damit uebrigens ziemlich falsch.
> k kann nicht 1 sein, denn laut Voraussetzung (der Aufgabe),
> soll [mm]\chi[/mm] nicht der Hauptcharakter sein. Das bedeutet wäre
> k=1 (oder 2), dann wäre [mm]\phi(1)=1[/mm] und es gäbe nur den
> Hauptcharakter. Deshalb muss k größer als 2 sein. Oder
> habe ich mich hier irgendwie vertan?
Ok, damit ist $k > 2$ und somit [mm] $\phi(k) [/mm] > 1$.
> In der Aufgabe gibt es keine Voraussetzungen an k.
>
> In der Vorlesung haben wir auch so eine Fallunterscheidung
> gemacht und beim letzten Fall (v > u+k) wurde das mit
> Induktion bewiesen, was ich allerdings nicht verstehe. Es
> wurde einfach gesagt, nach Induktion gilt
> [mm]|\sum_{n=u+k}^{v}\chi(n)| \le[/mm] k.
Naja, du machst Induktion nach $v - u$. Und $v - (u + k)$ ist halt kleiner als $v - u$.
> > Wenn das wirklich so gehen wuerde wie du oben anfaengst:
> > warum wendest du die Orthogonalitaetsrelation 1 nicht
> > nochmal an? Und dann evtl. nochmal? Bis irgenwann einer der
> > obigen Faelle eintritt?
>
> Wie meinst du das? Wie könnte ich die Orthog.relation
> öfter anwenden bis der 2. Fall eintritt?
Mach das ganze wie in der Vorlesung per Induktion nach $v - u$. Ist $v - u [mm] \ge [/mm] k$, so kannst du die Orthogonalitaetsrelation verwenden um die Differenz um $k$ zu verringern. Du musst das ganze also nur fuer $0 [mm] \le [/mm] v - u < k$ zeigen. Dort darfst du allerdings nicht die Orthogonalitaetsrelation verwenden!
LG Felix
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alles klar! Danke nochmals! ich werde es ausprobieren!
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